哥德尔不完备定理认为没有任何一个足够强有力的形式系统在下述意义下是完备的：能够把每一个真陈述都作为定理而重现在该系统中。
让我们回到pq系统，公理：若x是一个短杠串，则xqxp-也是一个公理。
这个公理下的系统和外部世界是不一致的（2=2+1显然是假陈述），同样的它和内部世界也不一致。解决问题的办法是重塑这个形式系统的一致性，比如说q可以解释为“小于等于”这样我们就摆脱了外部和内部的不一致性。
欧几里得是数学中严格性的创始人，《几何原本》从简单的概念，定义开始，逐渐建立起庞大的体系。不同于摩天大楼，《几何原本》使用人类的语言来建构证明，那么它的凝聚力是什么？语言中的词会引起我们的联想，越是简单的词联想越多，要构建《几何原本》我们需要对公理中的词进行清楚的定义。可是欧几里得并没有这么做，这就造成了数学中最大的分支——各种几何学的诞生。
跟pq系统中的q一样，根据不同的新公理的诞生，q的意义是不同的。通过不同的意义来寻找形式系统的一致性。一致性不但是形式系统的性质，还依赖于为之提出的解释。所谓一致性就是：在形式系统中每个定理经过解释都成为一个真陈述。如果至少一个经过解释后的定理是假陈述，我们就说出现了不一致性。系统中定理相互不相容就是内部不一致性。
我们所说的“外部世界”不一定必须是我们的现实世界，它可以是数学，物理，生物或者逻辑的世界。
我们学习新知识新事物也应该这样，将这些新事物和我们已有的知识体系进行系统分层，例如我们学习形式系统1，已有的知识系统叫形式系统2，然后将形式系统1中的公理和定理进行合并，如果一致性出现问题那么就调整各个公理的解释。
如果一致性是符号获得被动意义的最低条件，那么与之互补就是完全性——被动意义的最高确认。完全性的意思是：每个真陈述都是由系统产生的。最初的pq系统是完全的，它只解释加法。这个系统并不强有力的，但是是完全的。修改后的pq系统是一致的，不过解释却变得模糊了，有两个办法可以解决这个问题：1.紧缩解释，2.加强规则。
