1.仿射集(affine set.)

1.1 定义

方式一：
$\forall x_1,x_2 \in \mathcal{C}$ ，则连接 $x_1,x_2$ 的直线也在 $\mathcal{C}$ 中
方式二（仿射组合）：
$设 x_1,x_2,...,x_k \in \mathcal{C},\theta_1,\theta_2,...,\theta_k \in R$
$\theta_1+\theta_2 +...+\theta_k = 1$
$若： \theta_1 x_1 + \theta_2 x_2 +...+ \theta_k x_k \in \mathcal{C} \ 则： \mathcal{C} 为仿射组合$

直线的例子：
定义一条直线：
$x_1\neq x_2 \in \mathbb{R}^n,同时\theta \in \mathbb{R},则直线可以表达为：$
$y=\theta x_1 + (1-\theta)x_2$
or :
$y=x2 + \theta (x_1 -x_2)$
当 $\theta \in [0,1] 时，这条直线就退化成了线段。可以证明直线就是一个仿射集。$

1.2 与 $\mathcal{C}$ （仿射集）相关的子空间

定义：
$\mathcal{V}=C-x_0 = \{x-x_0| x \in \mathcal{C},\forall x_0 \in \mathcal{C}\}$
$\mathcal{V}即为与\mathcal{C}相关的子空间，这里相当于将\mathcal{C}进行平移了x_0$ ,
这里证明一个 $\forall v_1 ,v_2 \in \mathcal{V}, \forall \alpha, \beta \in \mathbb{R} \Rightarrow \alpha v_1 + \beta v_2 \in \mathcal{V}$
证明： $\alpha v_1 + \beta v_2 +x_0 \in \mathcal{C} \$
$\alpha (v_1+x_0) + \beta (v_2+x_0) + (1-\alpha - \beta)x_0 \in \mathcal{C}$
$\alpha v_1 + \beta v_2 +x_0 \in \mathcal{C} \Rightarrow \alpha v_1 + \beta v_2 \in \mathcal{C}$
这里的 $x_0$ 可以是任意值，因为 $x_0 \in \mathcal{C}$ ，所以 $\mathcal{C}-x_0$ 有一个原点，所以称之为子空间

证明：线性方程组的解集是仿射集
$线性方程组：\mathcal{C}=\{x| A x=b\} ,A \in \mathbb{R}^{m \times n},b \in \mathbb{R}^{m},x \in \mathbb{R}^n$
$要证明\mathcal{C}是仿射集，只需要证明:\forall x_1,x_2, \theta x_1 +(1-\theta) x_2 \in \mathcal{C}即可\$
$Ax_1=b,Ax_2=b,x_1 \neq x_2 \in \mathbb{R}^n \$
$A (\theta x_1 + (1-\theta)x_2)=\theta Ax_1 + (1-\theta)Ax_2=\theta b + (1-\theta)b=b$

1.3 仿射包

给定任意集合 $\mathcal{C}，构造尽可能小的仿射集$
仿射包：
$aff \mathcal{C} = \{\theta_1 x_1 + \theta_2 x_2 +...+ \theta_k x_k|\forall x_1,x_2,...,x_k \in \mathcal{C}, \forall \theta_1 + \theta_2 +...+\theta_k=1\} \$
理解：在给定的集合上，构造一个最小的仿射集

1.4 凸集

$一个集合是凸集\mathcal{C},\forall x_1,x_2 \in \mathcal{C},过x_1,x_2 的线段，仍在\mathcal{C}中 \$
$\forall x_1,x_2 \in \mathcal{C}$
$\theta x_1 + (1-\theta) x_2 \in \mathcal{C},\theta \in [0,1]$
仿射集是一种特殊的凸集
凸组合：
$\forall x_1,x_2,...,x_k \in \mathcal{C},\theta_1+\theta_2+...+\theta_k=1,\theta_i \in [0,1]$
$\theta_1 x_1+\theta_2x_2 +...+\theta_k x_k \in \mathcal{C}$
凸包：
$\mathcal{C} \in \mathbb{R}^n$
$Conv \mathcal{C}=\{\theta_1x_1+\theta_2x_2+...+\theta_kx_k | \forall x_1,x_2,...,x_k \in \mathcal{C},\forall \theta_1,\theta_2,...,\theta_k \in [0,1],\theta_1+\theta_2+...+\theta_k=1\}$

1.5锥（Cone）和凸锥

$\mathcal{C} 是锥 ,\Leftrightarrow \forall x \in \mathcal{C},\theta \geq0,则：\theta x \in \mathcal{C} \$
$\mathcal{C} 是凸锥 \Leftrightarrow \forall x_1,x_2 \in \mathcal{C},\theta_1,\theta_2 \geq0,则：\theta_1 x_1+ \theta_2 x_2 \in \mathcal{C}\$
理解：
锥：从原点出发的射线组成的集合

凸锥组合：
$\forall x_1,x_2,...,x_k \in \mathcal{C},\theta_1,\theta_2,...,\theta_k \geq0 \\ 则：\theta_1 x_1+ \theta_2 x_2 +...+ \theta_kx_k \in \mathcal{C} 为凸锥组合$
凸锥包：
$\mathcal{C} \in \mathbb{R}^n \\ \{\theta_1 x_1+\theta_2 x_2+ ...+\theta_k x_k | \theta_1,\theta_2,...,\theta_k \geq 0,\forall x_1,x_2,...,x_k \in \mathcal{C}\}$
若：
$\mathcal{C}=\{x\},只有一个元素 \\ \theta_1 x +\theta_2 x +...+ \theta_k x =x ,仿射集，凸集$

凸优化-1

凸优化-1

1.仿射集(affine set.)

1.1 定义

1.2 与 $\mathcal{C}$ （仿射集）相关的子空间

1.3 仿射包

1.4 凸集

1.5锥（Cone）和凸锥

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1.仿射集(affine set.)

1.1 定义

1.2 与（仿射集）相关的子空间

1.3 仿射包

1.4 凸集

1.5锥（Cone）和凸锥

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1.2 与 $\mathcal{C}$ （仿射集）相关的子空间