任意小的空间并不存在，空间的可分性有个下限，它虽然是非常小的尺度，但确实存在。这就是马特维·布朗斯坦在20世纪30年代凭直觉领悟到的。体积谱与面积谱的计算证实了布朗斯坦的想法，并且用精确的数学形式表达出来。
阿喀琉斯不需要跑无穷多步才能追上乌龟，因为在有限大小的微粒组成的空间中，无穷小的步子并不存在。英雄会离乌龟越来越近，最终以一次量子飞跃赶上它。
最近在读卡洛·罗韦利的《现实不似你所见》，其中提及了芝诺悖论中经典的龟兔追及问题（阿喀琉斯悖论）。这个悖论很多人都熟悉，大概意思是：乌龟领先兔子一段距离——假设是 100 米——两者开始向同一方向起跑，每当兔子跑到乌龟起先的位置时，乌龟总是又会跑出去一段距离。例如一开始兔子要跑 100 米到达乌龟的位置，此时无论乌龟多慢，总会跑一段距离，假设为 5 米，之后兔子必须再跑 5 米才能到达乌龟的位置，而这时无论乌龟多慢，又总会跑一段距离。如此下去，兔子只可能会无限接近乌龟，却不可能超过它。
犹记得中学晚自习和同桌讨论这个问题时，被班主任叫出去谈话的情景。
《现实不似你所见》是一本介绍量子引力的科普书，此文并不是对本书的阅读心得体会，只是突然由以上悖论产生了一些想法，记录一下。尽管现在已经知道微积分的思想可以解释这个现象，但其实我心里对该悖论并不释然，依然不能从逻辑上很好地说服自己接受它。然而顺着这个悖论的思路推下去，却很容易产生新的悖论。
我们先把乌龟和兔子的位置换一下。由于兔子跑得快，当乌龟只跑了很小一段距离时，比如 5 米，按我们的例子，兔子已经跑出去 100 米了。这样一来，当乌龟跑完这 100 米时，兔子早已跑出 2000 米。它们之间的距离必然会越拉越大。
接下来引入第三个角色：小马。它比兔子跑得还快。
问题出在，当我们让小马和乌龟赛跑时，会产生和兔子一样的效果——乌龟在前面时，小马永远追不上乌龟；乌龟在后面时，小马会远远地甩开乌龟。如若把小马放在中间会怎样？
观察兔子和小马的关系会发现，兔子刚刚跑很小的距离后，小马会远远地拉开和兔子的距离。再观察小马和乌龟的关系会发现，小马跑到了乌龟的位置后，乌龟又往前跑了一些，小马永远追不上乌龟。这样一来，在最开始的兔子和乌龟之间多了一匹小马，它会永远追不上乌龟却离兔子越来越远。那么，兔子和乌龟的距离究竟是什么关系呢？
