2014年理数A19
（19）（本小题满分12 分）
如图，三棱柱 中，侧面
为菱形，
.
（Ⅰ）证明∶ ；
（Ⅱ）若 ，求二面角
的余弦值.
2014年理科数学全国卷A
2014年理数A19
【解答第1问】
连接 , 记
与
的交点为
, 再连接
.
∵ 侧面 为菱形，∴
,
∵ ,
,
,
∴ 面
, ∴
,
又∵ , ∴
.
【解答第2问】
三棱柱 中，面
. 二面角
与二面角
互补。我们先求二面角
.
由已知条件结合第1问结论可知： 是等腰直角三角形，
是正三角形，且
∴ 是等腰三角形，且
.
作 ,
为垂足，则
.
就是二面角
的平面角。
令 , 则
,
∴ 二面角 的余弦值 =
.
【提炼与提高】
本题第1问中，由已知条件菱形推出平面上的线线垂直，由平面上的两对线线垂直推出空间的线面垂直，再由线面垂直推出线线垂直，推出结论： 是
的垂直平分线, 从而完成证明。
这是立体几何中的常用套路。
如果与「2007年文数海南卷题18」比较会发现，两个命题存在互逆关系。在2007年的海南题中，已知条件是两个等腰三角形，待证内容是空间的线线垂直；在本题第1问中，已知条件包括空间的线线垂直和一个等腰三角形，要求证明另外一个三角形也是等腰三角形。
第2问的待求量为二面角的余弦值。此处我们用几何方面解答。解答过程中用到了二面角 与二面角
的互补关系，算是有一点技巧。如果用向量法解答，也是可以的。请有兴趣的读者实践、比较。
本题对于解题人的空间想象力有较高要求。建议在解答本题前多做一些准备工作，主要是熟悉常见四面体。【相关考题】部分列出了一份清单。在完成这份清单后再来解答本题，就会轻松很多。
这个题对于锻炼空间想象能力大有好处，值得多花一些时间。
【相关考题】
