Fano's propensity rule

在量子力学中，不同态之间的跃迁满足选择定则 (selection rule)，它规定了跃迁初始态和末态之间的角动量的可能关系。倾向规则 (propensity rule) 则基于另外一个事实，即不是所有允许的跃迁都是等概率的，也就是说跃迁有倾向性的。

单光子电离 ( $A+\gamma\rightarrow A^+ +e^-$ )

当电子吸收一个光子后，一般更倾向于跃迁到角动量增加的态 [1]。简单起见，仅考虑径向部分跃迁矩阵元，
$M(r)=\int_0^\infty dr\psi_f(r)T(r)\psi_i(r),$
其中 $T(r)$ 是径向部分跃迁算符。由 WKB 近似，波函数近似写成 $\psi_{i,f}\propto \sin[\int_0^r k_{i,f}(r')dr']$ , 其中 $k_{i,f}=\sqrt{2}[E_{i,f}-V_{i,f}]^{1/2}$ . $M(r)$ 最终近似写成
$T(r)\cos(\int_0[k_f(r')-k_i(r')]dr').$
当电子吸收一个光子 ( $E_f>E_i$ ) 过程中，角动量 $l$ 倾向于增加 ( $l\rightarrow l+1$ )，此时 $V_f(r)>V_i(r)$ , 由于 $V(r)\propto l(l+1)$ .

双光子电离 ( $A+\gamma_{\text{XUV}}+\gamma_{\text{IR}} \rightarrow A^+ +e^-$ )

在这篇文章 [2] 中，他们将这个倾向定则推广到了双光子过程，电子先吸收一个 XUV 光子被电离，再吸收一个红外 (IR) 光子。

跃迁矩阵为
$M_{\lambda Lm}^{(\pm)} =\lim_{\epsilon \rightarrow 0^+} \int\kern-1.3em\sum_p \frac{\langle q|z|p\rangle\langle p|z+\delta z|a\rangle}{\varepsilon_a-\varepsilon_p+\omega(s\mp 1)+i\varepsilon},$
其中， $|a\rangle$ , $|p\rangle$ 和 $|q\rangle$ 分别是初态，中间态和末态。中间态和末态的角动量分别为 $\lambda,L$ . $m$ 则是磁量子数。 $M_{\lambda Lm}^{(\pm)}$ 中的加减号分别代表吸收 (+) 和发射 (-) 出一个 IR 光子的过程。各种跃迁情况下，跃迁矩阵的比值结果如图。

image

(a) $|M_{\lambda\;\lambda+1\; 0}^{(+)}|/|M_{\lambda\;\lambda-1\; 0}^{(+)}|$ . (b) $|M_{\lambda\;\lambda+1\; m}^{(+)}|/|M_{\lambda\;\lambda+1\; m}^{(-)}|$ . (c) $|M_{\lambda\;\lambda+1\; m}^{(-)}|/|M_{\lambda\;\lambda-1\; m}^{(+)}|$ .

文章 [2] 相比 [1] 给出了一致但定量的结果。值得注意的是，考虑跃迁过程角动量变化，需要同时考虑角向部分和径向部分，这两者存在竞争关系。当 $l$ 较小时 (如图 a 中)，出现了比值小于 1 的情况，即吸收光子的过程中电子的角动量更倾向于减少。

References

[1] Phys. Rev. A 32, 617 (1985).
[2] Phys. Rev. Lett. 123, 133201 (2019).

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