中考数学中常见的几何模型整理

以下是中考数学中常见的几何模型整理，涵盖原理、例子及名字由来，结合近年中考真题与典型题型，助你系统掌握几何核心思想：

一、胡不归问题（时间最短模型）

原理：动点沿两种路径运动，速度不同，求总时间最短。
名字由来：源于“胡不归，胡不归”的典故，少年为缩短回家时间需优化路径。
典型例题：

• 题目：如图，在平面直角坐标系中，点A(2,0)，点B(0,2)，点C(5,2)，点D(4,4)，点P在第一象限且∠APB=135°，求2PD+4PC的最小值。
• 解析：通过构造定角（如sinθ=1/2），将2PD转化为垂线段，结合几何变换求解。
  模型应用：适用于“PA + k·PB”型最值，关键是构造与k·PB相等的线段。

二、阿氏圆（阿波罗尼斯圆）

原理：平面内到两定点距离之比为定值的点的轨迹是圆。
名字由来：古希腊数学家阿波罗尼斯发现。
典型例题：

• 题目：已知点A(0,0)，B(3,0)，求点P(x,y)使得PA/PB=1/2。
• 解析：设P(x,y)，由距离公式得(x² + y²)/( (x-3)² + y² )=1/4，化简得圆方程。
  模型应用：常用于解决“PA + k·PB”型最值，需找到圆心与半径。

三、费马点（距离和最小模型）

原理：三角形内一点到三顶点距离之和最小。
名字由来：由法国数学家费马提出。
典型例题：

• 题目：在△ABC中，各角均小于120°，求费马点P，使得PA+PB+PC最小。
• 解析：将△APC绕点A旋转60°得△AP'C'，连接PP'，当B、P、P'、C'共线时和最小。
  模型应用：当三角形有一角≥120°时，费马点为该角顶点。

四、米勒问题（最大视角模型）

原理：在直线上找一点，使其对两定点的视角最大。
名字由来：由德国数学家雷格蒙塔努斯提出。
典型例题：

• 题目：河岸上找一点，使观看对岸两棵树的视角最大。
• 解析：作过两树的圆与河岸相切，切点即为所求点。
  模型应用：利用圆的切线性质，视角最大时切点为解。

五、燕尾模型（面积比例模型）

原理：三角形内一点与顶点连线分三角形为三部分，面积比等于底边比。
名字由来：图形形似燕尾。
典型例题：

• 题目：在△ABC中，点D在BC上，AD与BE交于F，若BD/DC=2/1，AE/EC=3/1，求AF/FD。
• 解析：利用面积比等于底边比，设S△BDF=2x，S△CDF=x，S△AEF=3y，S△CEF=y，列方程求解。
  模型应用：通过面积比推导线段比例，常用于复杂几何图形。

六、手拉手模型（旋转全等模型）

原理：两个相似图形共顶点旋转，产生全等或相似三角形。
名字由来：两图形像“手拉手”旋转。
典型例题：

• 题目：等边△ABC和等边△CDE，连接AD和BE，证明AD=BE。
• 解析：通过旋转△ACD至△BCE，证全等得AD=BE。
  模型应用：用于证明线段相等或角度相等，常结合旋转构造全等。

七、婆罗摩笈多定理（圆内接四边形性质）

原理：圆内接四边形对角线垂直时，一边中点与对角线交点的连线垂直于对边。
名字由来：由印度数学家婆罗摩笈多提出。
典型例题：

• 题目：圆内接四边形ABCD，AC⊥BD于E，F为AB中点，求证EF⊥CD。
• 解析：利用中点性质与垂直关系，证EF为中位线。
  模型应用：解决圆内接四边形中的垂直与中点问题。

八、奔驰定理（向量面积模型）

原理：三角形内一点与三顶点连线分三角形为三部分，面积比对应向量系数。
名字由来：图形形似奔驰车标。
典型例题：

• 题目：在△ABC内任取一点P，若S△PBC:S△PAC:S△PAB=λ:μ:ν，求证λPA + μPB + νPC = 0向量。
• 解析：利用向量分解与面积比例，结合重心性质证明。
  模型应用：解决向量与面积相关问题，常与重心、垂心结合。

九、蝴蝶定理（圆内中点对称）

原理：过圆内弦中点作两弦，连接交点形成的四边形对角线中点重合。
名字由来：图形形似蝴蝶。
典型例题：

• 题目：圆O中，弦AB中点M，过M作弦CD、EF，CF与DE交AB于P、Q，求证MP=MQ。
• 解析：利用相似三角形与中点性质，证MP=MQ。
  模型应用：解决圆内中点与对称问题。

十、弦图（勾股定理证明模型）

原理：四个全等直角三角形拼成正方形，用于证明勾股定理。
名字由来：图形由弦（斜边）构成。
典型例题：

• 题目：用弦图证明勾股定理。
• 解析：大正方形面积=小正方形面积+4个直角三角形面积，推导a² + b² = c²。
  模型应用：勾股定理的几何证明与面积计算。

十一、一线三垂直模型（直角构造全等）

原理：一条直线上有三个直角，构造全等三角形。
名字由来：三个直角顶点在同一直线。
典型例题：

• 题目：在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC，直角顶点C在x轴，A在y轴，B(6,1)，求A坐标。
• 解析：作BD⊥x轴，证△ACO≌△CBD，得A(0,5)。
  模型应用：解决坐标系中的直角问题，构造全等或相似三角形。

十二、半角模型（角度分割模型）

原理：在角内作半角，利用旋转构造全等三角形。
名字由来：角度为原角的一半。
典型例题：

• 题目：正方形ABCD中，E、F在BC、CD上，∠EAF=45°，求证EF=BE+DF。
• 解析：将△ADF绕A旋转90°至△ABG，证△AEF≌△AEG，得EF=BE+DF。
  模型应用：解决正方形或等腰直角三角形中的角度问题。

十三、蚂蚁行程模型（立体最短路径）

原理：立体图形表面两点间最短路径展开为平面问题。
名字由来：蚂蚁在立体表面爬行的最短路径。
典型例题：

• 题目：长方体长3、宽2、高1，求顶点A到顶点B的最短路径。
• 解析：展开长方体，计算三种展开方式的距离，取最小值√( (3+2)² +1² )=√26。
  模型应用：解决立体几何中的路径问题，需展开表面。

十四、倍长中线模型（中线构造全等）

原理：延长中线至两倍，构造全等三角形。
名字由来：中线被延长一倍。
典型例题：

• 题目：△ABC中，AD为中线，E在AD上，BE=AC，求证∠BED=∠CAD。
• 解析：延长AD至F使DF=AD，证△BED≌△CAD，得∠BED=∠CAD。
  模型应用：解决中线相关问题，构造全等或平行四边形。

十五、梯子滑行模型（线段滑动最值）

原理：线段两端在坐标轴上滑动，求某点轨迹或最值。
名字由来：类似梯子滑动。
典型例题：

• 题目：线段AB长6，两端在坐标轴上滑动，以AB为边作正方形ABCD，求OC的最大值。
• 解析：设A(a,0)，B(0,b)，a² + b² =36，C点坐标为(b,a)，OC=√(b² + a² )=6。
  模型应用：解决线段滑动中的轨迹与最值问题。

十六、相似三角形模型（比例线段模型）

原理：利用相似三角形对应边成比例解决问题。
名字由来：三角形形状相同但大小不同。
典型例题：

• 题目：△ABC中，DE∥BC，AD/DB=2/1，求DE/BC的值。
• 解析：由相似三角形性质，DE/BC=AD/AB=2/3。
  模型应用：解决平行线分线段成比例问题，常与辅助线结合。

总结

可以将十五个模型进行几何思想分类，帮助同学更系统地理解：

备考建议

1. 模型识别：遇到几何题先观察是否符合上述模型特征，如“PA + k·PB”考虑胡不归或阿氏圆，“角度最大”考虑米勒问题。
2. 辅助线技巧：旋转（手拉手、费马点）、对称（将军饮马）、构造相似（一线三垂直）是常见方法。
3. 真题训练：结合历年中考真题，针对性练习模型应用，如2023年江苏宿迁中考题（胡不归）、2024年山东泰安二模题（梯子滑行）。
4. 工具使用：考试中可借助几何画板辅助理解复杂模型，如动态展示旋转过程。

掌握这些模型，能快速识别几何问题本质，简化解题步骤，提升中考几何题得分率。