希尔排序属性

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上篇写的直接插入排序算法时间复杂度是O(n^{2)，如果要令此排序算法的时间复杂度要低于O(n}2)，必须是“远距离的元素交换”使得这组元素能提高有序的程度，然后进行直接插入排序的时候可以减少交换的工作量。

那通过什么减少交换的工作量呢？希尔排序可以解决这个问题。

希尔排序在做直接插入排序之前，希望可以对原整个待排序列进行预处理，目的是为了最后一步直接插入排序的时候可以减少交换次数，同时也减少时间上的消耗。

假定数组初始状态：5，1，9，3，7，4，8，6，2

然后设定初始增量是gap = length / 2 = 9 / 2 = 4，意味着两个元素之间比较和交换的距离都是4（隔着3个元素），然后也会被分成4组，【5，7，2】，【1，4】，【9，8】，【3，6】。

对这5组分别进行直接插入排序，在代码的进行中，它们都是穿插的进行直接插入排序，待会在下面视频动画可以看到。

对4组进行完排序的时候接着逐步缩小增量，gap = 4 / 2 = 2，说明两个元素待会比较和交换的距离都是2，被分为两组，对着两组也进行排序。

最后增量缩小为1，这时候就是纯正的直接插入排序了，因为在前面进行了预处理，使得这整个序列进行了“粗略调整”，在做最后一步的直接插入排序的时候，如果待排序列明显有序的话，就真正减少了交换的次数，也真正减少了时间上的消耗。

（在做动画的过程中，中间出错了一个元素交换，已修正，播放的时候中间部分动作会有点赶）。

视频动画：希尔排序交换法

算法动画视频 地址

Code

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Result

初始状态 [5, 1, 9, 3, 7, 4, 8, 6, 2]
4增量
交换 [5, 1, 8, 3, 7, 4, 9, 6, 2]
交换 [5, 1, 8, 3, 2, 4, 9, 6, 7]
交换 [2, 1, 8, 3, 5, 4, 9, 6, 7]
2增量
交换 [2, 1, 5, 3, 8, 4, 9, 6, 7]
交换 [2, 1, 5, 3, 8, 4, 7, 6, 9]
交换 [2, 1, 5, 3, 7, 4, 8, 6, 9]
1增量
交换 [1, 2, 5, 3, 7, 4, 8, 6, 9]
交换 [1, 2, 3, 5, 7, 4, 8, 6, 9]
交换 [1, 2, 3, 5, 4, 7, 8, 6, 9]
交换 [1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 6, 9]
交换 [1, 2, 3, 4, 5, 7, 6, 8, 9]
交换 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

我们为了减少交换的次数，也可以继续优化，采用移动法的方式也可以减少交换的时间消耗。

视频动画：希尔排序移动法

算法动画视频 地址

Code

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Result

初始状态 [5, 1, 9, 3, 7, 4, 8, 6, 2]
4增量
移动 [5, 1, 9, 3, 7, 4, 9, 6, 2]
移动 [5, 1, 8, 3, 7, 4, 9, 6, 7]
移动 [5, 1, 8, 3, 5, 4, 9, 6, 7]
2增量
移动 [2, 1, 8, 3, 8, 4, 9, 6, 7]
移动 [2, 1, 5, 3, 8, 4, 9, 6, 9]
移动 [2, 1, 5, 3, 8, 4, 8, 6, 9]
1增量
移动 [2, 2, 5, 3, 7, 4, 8, 6, 9]
移动 [1, 2, 5, 5, 7, 4, 8, 6, 9]
移动 [1, 2, 3, 5, 7, 7, 8, 6, 9]
移动 [1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 6, 9]
移动 [1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 8, 9]
移动 [1, 2, 3, 4, 5, 7, 7, 8, 9]

希尔增量（Shell增量序列）

上面的过程使用的{4，2，1}被称为希尔排序的增量，是逐步折半缩小增量的过程。Shell增量序列的递推公式为：

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Shell增量序列的最坏时间复杂度为 O(n^2)。

希尔排序的增量序列的选择有很多种，关于那些增量序列的选择证明和过程比较复杂，就不纠结了。本文即将给出两个案例，它们都可能比Shell增量序列要好：Hibbard增量序列和Sedgewick增量序列。

Hibbard增量序列

Hibbard增量序列的通项公式为：

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Hibbard增量序列的递推公式为：

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Hibbard 增量序列的最坏时间复杂度为 O(n^(3/2))；平均时间复杂度约为 O(n^(5/4))。

Code

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得到的，是比length小的最大初始增量。然后在下面代码中只修改获取初始增量的一步就好了，缩减方式和希尔增量一样的，不做修改。

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Sedgewick增量序列

Sedgewick增量序列的通项公式为：

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Sedgewick 增量序列的最坏时间复杂度为 O(n^(4/3))；平均时间复杂度约为 O(n^(7/6))。

初次看这段公式的时候突然有点看不懂了，仔细看看原来是中间还有个小逗号，意思是这两个增量序列的并查集，拿到比length小的最大值（初始增量）就可以了。

Code

这过程有点复杂，因为存在两段公式的关系，不能直接求得初始增量就可以了，还要考虑到缩小增量的下一个数应该用哪个公式。采用的方式创建动态数组，在while(增量<lenght)条件下不断的加入新的元素作为增量，直到比length大才作罢，还要去除掉最有一个已经比length大的增量。

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上面解释一下“<<”的运算符，它是转化成二进制然后左移几位的算法，例如9<<1，9转化成二进制1001，然后左移一位，后面补零得10010，转化为十进制就是18，相当于9*2=18。

再例如7<<2，7转化为二进制111，左移两位成11100，转化为十进制就是32，相当于7*(2^2)=32。

”>>”运算符也是同样的，相当于除以2的几次方。

下面代码获取初始增量的也要修改，增量缩减方式也要相应的修改，然后其它的代码不变。

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本文介绍了希尔排序的基本思想、优化以及代码的实现，包括后面两个增量序列的选择。增列序列的选择方式对希尔排序也很重要，直接影响到希尔排序的性能。

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