1-基础-第二章-高等数学基础
1-当我谈[高等数学基础]我谈些什么
01）【高等数学】主要讲什么？【概率论和数理统计】讲什么
02）核心知识点：【求函数最大值】和【求函数变化率最快】
03）为了求【求函数最大值】先了解【极限】+【无穷大/无穷小】概念
04）【求函数最大值】这一点的斜率为0->尝试把【极值】和【斜率/求导】关联->【连续/导数】
05）知道了【导数】后向多维空间扩展->【偏导数】
06）【函数/曲线】拟合程度的度量->【泰勒展示公式】
07）【泰勒展示公式】的几个数值的含义
08）什么是【梯度】->如何最快的只拿距离量测仪到达终点(1维)/最快的到达山下(2维)
09）几种常见的极限公式
10）等高线和梯度什么关系
2-有哪些关键概念
1）函数
- 1）函数定义
- 2）几种常见的函数
- 分段函数
- 反函数
- 显函数和隐函数
- 3）函数几种特性
- 奇偶性
- 单调性
- 周期性
2）极限
- 1）极限符号
- 2）极限求解思路：用无数个小梯形近视圆面积
- 3）【数列】极限
- 数列概念
- 收敛数列性质
- 4）【函数】极限
- x->x0（左右趋近）
- x->x0（左趋近）
- x->x0（右趋近）
- x->∞
3）无穷大/无穷小
- 1）无穷小
- 2）无穷小基本性质
- 3）无穷小和函数极限关系
- 4）无穷大
- 5）无穷大/无穷小关系
- 6）无穷小比较
4）连续性/导数
- 01）函数连续性
- 02）函数连续性要满足条件
- 03）函数间断点
- 04）函数间断点常见类型
- 跳跃间断点
- 可去间断点
- 05）导数
- 06）导数几何意义
- 07）导数求导法则
- 08）反函数求导法则
- 09）复核函数求导
- 10）常见求导公式
6）偏导数
- 1）偏导数定义
- 2）偏导数几何函数
- 3）方向导数
7）梯度
- 1）梯度定义
- 2）等高线和梯度什么关系
2.1 函数
1-分段函数
2-反函数
3-显函数VS隐函数
2.2 极限
1-常用的极限公式
在高中数学中，常用的极限公式包括：
：这是用于计算
的极限，其中
趋近于 0。
：这是自然对数
的定义之一，其中
：这是自然对数
：当
的极限。
：这是用于计算
的极限，其中
：其中
是大于 0 的常数。
：
是常数，表示当
这些是高中数学中常用的一些极限公式，用于计算极限和理解函数在某些点的行为。
2-如何求解e=2.718281845
使用泰勒展示进行求解
使用泰勒展开可以近似计算自然对数 的值。自然对数的泰勒展开式为：
我们可以利用这个展开式来计算 的近似值。例如，取
，展开式就变成：
你可以计算前几项的和来近似 的值。
2.3 无穷小与无穷大
2.4 连续性与导数
2.5 偏导数
2.6 方向导数
2.7 梯度
2.8 综合实例—梯度下降法求函数的最小值
2-辅助资料
1-梯度和可微
1-高等数学中的梯度如何理解，用一个简单的生活案例来说明
想象一下，你正置身于一座山峦的斜坡之上，意图探索抵达山脚最快的路径。在这个自然景象中，山的高度可以抽象成一个映射在二维平面的函数 (z = f(x, y))，其中 (x) 和 (y) 分别标定了你东西和南北方向的位置，而 (z) 则代表了你脚下的海拔高程。
梯度（gradient）在此情境中化身为一位无形的向导，它以向量的形式出现，揭示了山坡每一点上最急剧攀升的轨迹。设想你驻足山坡，手中的梯度向量宛如一盏明灯，照亮了通往山顶最陡峭的径途。鉴于你的目的乃是速降，你将智慧地选择与梯度指向相反的道路，因为那正是速降的捷径。
从数学的严谨性来阐述，若我们关注的地形高度函数 (f(x, y)) 在某坐标点 ((x_0, y_0)) 处可微分，那么该点上的梯度 (\nabla f(x_0, y_0)) 揭示为一个向量，具体定义如下：
这里，符号 (\frac{\partial f}{\partial x}) 和 (\frac{\partial f}{\partial y}) 代表函数 (f) 沿着 (x) 轴和 (y) 轴方向的偏导数，它们量化了当你沿东西或南北迈出一步时，海拔的增涨速率。
回归至下山之旅的比喻，欲确定当前位置下降最为急剧的路径，你便需计算当前位置的梯度，随后沿着此梯度的负方向启程，因为那里正是山势下降最为陡峭之处。因此，梯度不仅是陡峭程度的指示器，更是指引我们在多维度空间中探寻“下坡路”或优化路径的罗盘。
简言之，梯度犹如一位不指向地理北极，而是直指数学函数增值最迅猛方向的高级指南针。这一原理在生活中有着广泛的应用，譬如在物流领域寻找最短配送路径、经济分析中确定成本最低策略等众多优化问题的核心所在。
2-函数可微是什么概念，和求导有什么关系
函数可微（differentiability）是微积分中的一个重要概念，它描述了一个函数在某一点邻域内的变化率不仅存在，而且足够平滑，以至于可以用一个线性函数（即切线斜率）来很好地近似这个函数在该点附近的行为。更形式化地说，如果一个函数 在点
可微，那么存在一个线性函数
和一个余项
（随着
比
更快地趋于零），使得对于
接近
，有：
而这个线性函数 就是我们常说的导数（derivative），记为
或
。所以，函数在某一点可微的本质是说，这个点的导数存在。
对于一元函数而言，可微与可导是等价的，即如果一个函数在某点可导，那么它也在该点可微，反之亦然。这意味着在这个点上，函数不仅有导数（即瞬时变化率），而且这个变化率能够完美地通过切线来描述函数的局部行为。
然而，在多元函数的情况下，情况稍微复杂一些。一个多元函数在某一点可微意味着不仅它在该点的所有偏导数存在，而且这些偏导数所决定的线性变换（雅可比矩阵）能够很好地逼近原函数在该点附近的变化。但需要注意的是，即使所有的偏导数存在（即函数可导），多元函数也不一定可微，因为还要求这个线性逼近是“良好”的，即余项相对于 的高阶无穷小性质。
总结来说，函数可微是函数在某一点具有良好的局部线性近似的能力，而求导则是找到这个线性近似的斜率或者说是这个近似变换的具体形式。在单变量情况下，两者概念完全等同；而在多变量情况下，不完全相同。
3-函数可微是什么概念，和求导有什么关系，用案例具体说明多项式中为什么这两个概念不等价
函数可微是指在某一点处，函数的变化可以被一个线性函数很好地近似，而且这个近似误差相对于自变量的增量是高阶无穷小的。换句话说，可微意味着在这一点上不仅函数的导数存在，而且函数的泰勒展开式（如果有的话）的第一项就足以非常准确地描述函数的局部行为。
求导则是计算函数在某一点处的瞬时变化率的过程，即求导数。对于一元函数，导数定义为函数值增量与自变量增量比值的极限：
如果这个极限存在，我们说函数在 处可导。
在多项式函数的例子中，通常情况下，多项式函数在其定义域内处处可导，因为多项式函数是由幂函数组成，而幂函数在其定义域内都是可导的。不过，当我们谈论可微性和可导性的等价关系时，主要是在考虑多元函数的情况，但在解释概念时，我们可以构造一个简单的“反例”，来说明为什么在更复杂的函数类型中这两个概念可能不等价。
- 多项式示例说明（虽然实际上并不构成真正的反例，但有助于理解概念）
考虑一个简单的二维多项式函数的例子，以直观理解可微和可导的关系：
这个函数在所有点上都是可导的，因为每个变量的偏导数都明显存在且连续：
接下来，考察可微性。由于 是一个多项式，它在整个实数平面上都是连续的，并且它的偏导数也是连续的。因此，根据多元函数可微的定义，
在其定义域内的每一个点都是可微的。这里的关键在于，对于多项式这样的“好”函数，偏导数的存在加上它们的连续性保证了函数的可微性。
- 多元函数中可导与可微不等价的真正案例
但是，如果我们想要展示可导不一定导致可微的情况，我们需要考虑更复杂的例子，如下面这个著名的函数：
在这个函数中，可以验证在点 处，两个偏导数都存在（并且等于零），即函数在这点可导。但是，这个函数在原点并不满足可微的条件，因为无法找到一个线性函数能够合理地逼近
在
附近的值。实际上，通过考虑不同路径趋向原点时函数值的变化，可以发现不存在统一的线性近似，这表明虽然可导，但不可微。
总之，通过对比简单的多项式函数（几乎总是可微的，因为它们的导数简单且连续）和更复杂的函数例子，我们可以看到在多元函数中，可导（偏导数存在）和可微（局部线性近似存在）虽紧密相关，但并非总是一致的。
4-有没有函数是不可微但可导的？能举个例子吗？
当然有这种情况，特别是在讨论多元函数的时候。不可微但可导通常指的是函数在某一点的偏导数存在，但该点却不满足可微的条件。这意味着尽管沿着坐标轴的方向上有确定的斜率（偏导数），但没有一个平面能够良好地近似函数在该点邻域内的变化，这通常是因为不同方向上的变化率不一致，导致无法形成一个统一的切平面。
一个经典的例子是：
在点 ((0, 0)) 处，对 (x) 和 (y) 的偏导数分别是：
因此，两个偏导数在原点都存在且等于零。然而，这个函数在原点不可微。原因在于，如果你沿着不同的路径趋近于原点，函数的极限并不一致，这违反了可微性的要求。例如，当 (y = x) 时，函数值趋近于 (1/2)；而当 (y = 0) 或 (x = 0) 时，函数值为 (0)。这种现象表明，虽然沿着坐标轴方向（即偏导数所代表的方向）函数的行为看似平滑，但整体上在该点附近没有一个良好的线性近似，因此不可微。
5-可不可以这样理解：如果三维曲线中存在突然的锐角图像，该处可能就不可微
你的理解部分正确，但这里需要澄清几个概念，因为你在提到“三维曲线”时，似乎是在讨论空间曲线或者可能是曲面的问题。首先，让我们区分一下一维曲线、二维曲面以及它们在高维空间中的可微性概念。
对于一维曲线：在一维中谈论可微性不太适用，因为可微性概念通常是针对多变量函数而言的，即函数的输入和输出至少都是二维。不过，如果考虑的是曲线上的参数方程（如时间t作为参数），那么我们可以说，如果曲线在某一点的速度矢量（即导数）存在且连续，那在某种意义上，这可以认为是“可微”的，但这种说法并不标准，因为可微性一般用于描述多元函数。
对于二维曲面（比如在三维空间中的曲面）：如果曲面上某一点的切平面存在，即该点的梯度（gradient）存在，我们说该点是可微的。如果曲面在某一点附近看起来像是被一个平面很好地近似，没有突变或尖角，那么这个点就是可微的。相反，如果在某个方向上曲率发生突变（如像你说的“突然的锐角”），这通常意味着在那个方向上不存在平滑的切线，因而该点可能不可微。
所以，如果你是指三维空间中曲面在某一点的形状类似于出现了“突然的锐角”，这实际上是在直观上说明这一点可能不满足可微的条件，因为无法找到一个切平面平滑地贴合这个区域。但是，要严谨地判断是否可微，我们需要检查该点所有方向上的偏导数是否存在并且连续，以及偏导数是否满足可微的充分条件，比如偏导数之间是否连续，是否有切平面的存在等等。
