高等数学复习笔记8（多元导数的应用）

一、曲线函数及其导数

从参数方程形式引入“曲线的导数”更加容易。
空间中的一个曲线可以表示成参数方程： $\left\{ \begin{aligned} x=\phi(t) \\ y=\psi(t) \\ z=\omega(t) \end{aligned} \right.$
若把上面的方程组写成向量形式 $\vec{r}=\vec{f}(t)=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}=\phi(t)\vec{i}+\psi(t)\vec{j}+\omega(t)\vec{k}$ ，就叫做一元向量值函数。
$r$ 是假设质点沿着曲线运动的位置轨迹，即曲线本身。其导数有以下 $\color{red}{物理意义}$ ：
$\frac{dr}{dt}=v(t)$ 是质点M的速度向量，其方向与曲线相切
$\frac{d^2r}{dt^2}=\frac{dv(t)}{dt}=a(t)$ 是质点M的加速度向量
注意： $f(t)$ 在 $t_0$ 可导的 $\color{red}{充分必要条件}$ 是， $f(t)$ 在三个分量函数 $\phi(t),\psi(t),\omega(t)$ 都在 $t_0$ 可导。其导数为 $f'(t_0)=\phi'(t_0)i+\psi'(t_0)j+\omega'(t_0)k$

二、曲线的切线和法平面

曲线在 $t_0$ 的导数是 $f'(t_0)=(\phi'(t_0),\psi'(t_0),\omega'(t_0))$
在 $f(t_0)$ 的切线方程是 $\frac{x-x_0}{\phi'(t_0)}=\frac{y-y_0}{\psi'(t_0)}=\frac{z-z_0}{\omega'(t_0)}$
经过 $f(t_0)$ 且垂直于切线的平面叫做法平面，其方程是 $\phi'(t_0)(x-x_0)+\psi'(t_0)(y-y_0)+\omega'(t_0)(z-z_0)=0$

曲线不仅可以用参数方程表示，还可以有更一般的表达，即 $\left\{ \begin{aligned} G(x,y,z)=0 \\ F(x,y,z)=0 \end{aligned} \right.$
虽然有两个变量 $(x,y)$ ，但是联立方程组会消去一个自由度，变成一个变量x。或者理解为，当x确定后(y,z)的方程组只有唯一解，即任意一个x对应一个(y,z)，因此只有一个变量x。
两边同时求导，并解出 $\frac{dy}{dx},\frac{dz}{dx}$ .这些内容在笔记5中讲过了。
上述方程组可以转化为 $\left\{ \begin{aligned} x=x \\ y=y(x) \\ z=z(x) \end{aligned} \right.$ 。

因此其导数为 $f'(x_0)=(1,y'(x_0),z'(x_0))$
切线方程是 $\frac{x-x_0}{1}=\frac{y-y_0}{y'(x_0)}=\frac{z-z_0}{z'(x_0)}$
经过 $f(x_0)$ 且垂直于切线的平面叫做法平面，其方程是 $(x-x_0)+y'(x_0)(y-y_0)+z'(x_0)(z-z_0)=0$

三、曲面的切平面和法线

曲面的函数为 $z=f(x,y)$ ,或者写成 $F(x,y,z)=0$

切平面方程
$F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$
法线方程
$\frac{x-x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)}+\frac{y-y_0}{F_y(x_0,y_0,z_0)}+\frac{z-z_0}{F_z(x_0,y_0,z_0)}=0$

四、方向导数

偏导数的含义是函数沿坐标轴方向的变化率。而方向导数可以求函数 $\color{red}{沿任意方向}$ 的变化率。
假设这个方向 $l$ 与X轴、y轴、z轴的夹角分别为 $\alpha, \beta, \gamma$ ，又叫方向角。

假设有一个二元函数为 $f(x,y)=0$ ，它通过点 $(x_0,y_0)$ 。把它写成参数形式 $\left\{ \begin{aligned} x=x_0 +tcos\alpha \\ y=y_0 +tcos\beta \end{aligned} \right.$ 。
方向导数定义为 $\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0,y_0)}=\lim_{t \to 0}\frac{f(x_0 +tcos\alpha, y_0 +tcos\beta)-f(x_0,y_0)}{t}$
$=f_x(x_0,y_0)cos\alpha+f_y(x_0,y_0)cos\beta$
三元函数的方向导数为 $\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0,y_0,z_0)}=f_x(x_0,y_0,z_0)cos\alpha+f_y(x_0,y_0,z_0)cos\beta+f_z(x_0,y_0,z_0)cos\gamma$

五、梯度

某点的梯度方向等于该点$\color{red}{方向导数取最大值的方向}。
梯度的模等于方向导数的最大值。

计算方法是 $\nabla f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\cdot\vec{i}+f_y(x_0,y_0)\cdot \vec{j}$
梯度又叫向量微分算子，或者Nabla算子。

六、条件极值——拉格朗日乘数法

辅助函数 $L(x,y)=f(x,y)+\lambda_1\phi(x,y)+\lambda_2\phi(x,y)$
有几个条件，就写几个 $\lambda$ 即可。
分别求 $x,y,\lambda$ 的一阶偏导数，并令其为0。
这里我虽然讲的最少，但是却是经济学中用的最多的。

最后编辑于：2024.09.22 15:14:01

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