高考数学全国卷大题：数列

数列A组：等差数列的最值

2008年理数海南卷题17（12分）

已知 \{a_n\} 是一个等差数列，且 a_2=1,a_5=-5.

（1）求 \{a_n\} 的通项 a_n；

（2）求 \{a_n\} 前 n 项和 S_n 的最大值.

2018年理科数学全国卷二题17（12分）

记 S_n 为等差数列 \{a_n\} 的前 n 项和，已知 a_1=-7,\; S_3=-15.

（1）求 \{a_n\} 的通项公式；

（2）求 S_n，并求 S_n的最小值。

数列B组：等差数列与等比数列

2013年理科数学大纲卷题17（10分）

等差数列 \{a_n\} 的前 n 项和为 S_n，已知 S_3=a_2^2，且 S_1,S_2,S_4 成等比数列，求 \{a_n\} 的通项公式。

2018年理科数学全国卷三题17（12分）

等比数列 \{a_n\} 中，a_1=1,a_5=4a_3.

（1）求 \{a_n\} 的通项公式；

（2）记 S_n 为 \{a_n\} 的前 n 项和。若 S_m=63，求 m。

2019年理科数学全国卷二题19（12分）

已知数列 \{a_n\} 和 \{b_n\} 满足 a_1=1,b_1=0, 4a_{n+1}=3a_n - b_n +4, 4b_{n+1}=3b_n-a_n-4。

（1）证明： \{a_n + b_n\} 是等比数列， \{a_n - b_n\} 是等差数列；

（2）求 \{a_n\} 和 \{b_n\} 的通项公式.

数列C组：『三角数阵』与分组求和

2010年理科数学海南卷题17（12分）

设数列 \{a_n\} 满足 a_1=2,a_{n+1} - a_n = 3 \cdot 2^{2n-1} .

（1）求数列 \{a_n\} 的通项公式；

（2）令 b_n = na_n，求数列 \{b_n\} 的前 n 项和 S_n。

2020年全国卷一题17（12分）

设 \{ a_n \} 是公比不为1的等比数列，a_1 为 a_2,a_3 的等差中项.

（1）求 \{ a_n \} 的公比；

（2）若 a_1 =1，求数列 \{ n a_n \} 的前 n 项和.

2020年全国卷三题17（12分）

设数列 \{ a_n \} 满足 a_1=3, a_{n+1}=3 a_n -4n

（1）计算 a_2,a_3，猜想 \{ a_n \} 的通项公式并加以证明；

（2）求数列 \{ 2^n a_n \} 的前 n 项和 S_n.

数列D组：裂项求和

2011年理科数学大纲卷题20（12分）

设数列 \{a_n\} 满足 a_1=0 且 \dfrac{1}{1-a_{n+1}} - \dfrac{1}{1-a_n} = 1.

（1）求 \{a_n\} 的通项公式；

（2）设 b_n = \dfrac{1- \sqrt{a_{n+1}}}{ \sqrt{n}}，记 S_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} b_k，证明：S_n \lt 1.

2014年理科数学大纲卷题18

等差数列 \{a_n\} 的前 n 项和为 S_n. 已知 a_1=10，a_2 为整数，且 S_n \leqslant S_4.

（1）求 \{a_n\} 的通项公式；

（2）设 b_n=\dfrac{1}{a_na_{n+1}}，求数列 \{b_n\} 的前 n 项和 T_n.

2015年理科数学全国卷一题17（12分）

S_n 为数列 \{a_n\} 的前 n 项和，已知 a_n \gt 0, \; a_n^2 + 2 a_n = 4 S_n +3.

（1）求 \{a_n\} 的通项公式；

（2）设 b_n= \dfrac{1}{a_n a_{n+1}}，求数列 \{b_n\} 的前 n 项和。

数列E组：在交叉处和交汇点命题~函数及不等式

2011年理科数学全国卷题20（12分）

等比数列 \{a_n\} 的各项均为正数，且 2a_1+3a_2=1,a_3^2=9a_2a_6.

（1）求数列 \{a_n\} 的通项公式；

（2）设 b_n = \log_3 a_1+ \log_3 a_2 + \dots + \log_3 a_n，求数列 \{ \dfrac{1}{b_n} \} 的前 n 项和.

2016年理科数学全国卷二题17（12分）

S_n 为等差数列 \{a_n\} 的前 n 项和，且 a_1=1,S_7=28. 记 b_n=[\lg a_n]，其中 [x] 表示不超过 x 的最大整数，如 [0.9]=0, \; [\lg 99]=1.

（1）求 b_1,\; b_{11},\; b_{101}；

（2）求数列 \{b_n\} 的前 1 000 项和。

2014年理科数学全国卷二题17

已知数列 \{a_n\} 满足 a_1=1,a_{n+1}=3a_n+1.

（1）证明 \{a_n+\dfrac{1}{2}\} 是等比数列，并求 \{a_n\} 的通项公式。

（2）证明 \dfrac{1}{a_1}+ \dfrac{1}{a_2}+ \dots + \dfrac{1}{a_n} \lt \dfrac{3}{2}

数列F组：通项公式、递推公式及求和公式

2014年理科数学全国卷一题17（12分）

已知数列 \{a_n\} 的前 n 项和为 S_n,a_1=1,a_n \ne 0, a_n a_{n+1} = \lambda S_n -1，其中 \lambda 为常数。

（1）证明：a_{n+2} - a_n = \lambda；

（2）是否存在 \lambda，使得 \{a_n\} 为等差数列？并说明理由。

2016年理科数学全国卷三题17（12分）

已知数列 \{a_n\} 的前 n 项和 S_n=1+ \lambda a_n，其中 \lambda \ne 0.

（1）证明 \{a_n\} 是等比数列，并求其通项公式；

（2）若 S_5=\dfrac{21}{32}，求 \lambda。

数列G组：在学科交叉处和知识的交汇点命题

2012年理科数学大纲卷（12分）

函数 f(x)= x^2 - 2x -3。定义数列 \{x_n\} 如下：x_1=2,x_{n+1} 是过两点 P(4,5), Q_n(x_n,f(x_n)) 的直线 PQ_n 与 x 轴交点的横坐标。

（1）证明：2 \leqslant x_n \lt x_{n+1} \lt 3 ；

（2）求数列 \{x_n\} 的通项公式。

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