1引言

定义 $A \cdot x=b$ 是一个线性变换， $A$ 是变换函数 $T$ ， $x$ 为 $n$ 维空间的一个向量。这个式子的本质就是一个函数(线性变换)，把 $x$ 映射到另一个向量空间，比如 $m$ 维的空间。这就类似与高一时学习的函数 $f(x)$ 把 $x$ 映射到 $y$ 。之前学习的时候我一直分不清 $A$ 和 $x$ 的地位，不知道哪个是函数哪个是未知数。
这种变换有什么意义呢？如果对一个2维的向量进行同纬度线性变换，这时注意 $A$ 矩阵的纬度为 $(2，2)$ 它的直接效果是这样的。

对称变换

可以看出来不同的标准矩阵

A

有不同的对称效果。于是我想到图片的编辑不就是水平翻转和垂直翻转吗？哇，矩阵

A

好厉害。
除了有相同纬度的变换之外，还有不同纬度的变换。如让

x

从2维升到3维，从2维降到1维(如把点映射到坐标轴)。此外还有很多在欧式空间的变换，不过在很高纬度之后就很难想象了。不过这种变换非常有用。比如把1000维的one-hot编码向量进行线性变换

W \cdot x=z

这样就可以把一些高维向量进行降纬，然后就可以进行一些相似度(余弦相似度和欧式距离等)判断了。这样就是一个应用问题，把不同的事物进行抽象，然后获得高维表示，通过线性变换进行降纬获得低纬表示，进而进行聚类等等。

2 核心问题

说到这里还比较好想，但是我有另外一个问题，在没有看书之前就有考虑，但是从来没有人告诉我它的意义或者本质。
这个问题就是，这种线性变换是唯一的吗？ $T$ 唯一吗？另外一个问题，这种在 $T$ 函数下的变换， $x$ 和 $b$ 是一一对应的吗？或者说，对于每个 $m$ 维空间的向量是否都只有一个 $n$ 维的向量 $x$ 通过线性变换 $T(x)=b$ 生成。
刚好我在1.9节找到了这个问题“存在与唯一性问题”。
首先定义两个概念，
若 $m$ 空间中的任一 $b$ 都至少有一个 $n$ 空间中的 $x$ 与之对应，我们称之为满射。
若 $m$ 空间中的任一 $b$ 都只有一个 $n$ 空间中的 $x$ 与之对应，我们称之为单射。
现在的问题变成 $A \cdot x=b$ 是否有解问题？和解是否唯一问题？

3 利用方程组求解

定理11 设 $T:\mathbb{R^n}\rightarrow \mathbb{R^m}$ 为线性变换，则 $T$ 是一对一当且仅当方程 $Ax=0$ 有平凡解。

简证：因 $T$ 是线性的， $T(0)=0$ ，若 $T$ 是一对一的，方程 $T(x)=0$ 至多有一个解。若 $T$ 不是一对一的，则 $\mathbb R^m$ 中某个 $b$ 是至少 $\mathbb R^n$ 中两个相异向量，比如说 $u$ 和 $v$ 的像，即 $T(u)=b$ , $T(v)=b$ ,于是因 $T$ 是线性的。 $T(u-v)=T(u)-T(v)=b-b=0$ 向量 $u-v$ 不是零，因 $u \neq v$ 。因此方程 $T(x)=0$ 有多于一个解( $T(0)=0,T(u-v)=0$ )。
这个定理说明，如果要想是单射，只能是齐次方程组只有平凡解，而其次方程组仅有平凡解等价于矩阵 $A$ 没有自由变量。

定理12 设 $T:\mathbb{R^n}\rightarrow \mathbb{R^m}$ 为线性变换，设 $A$ 为 $T$ 的标准矩阵，则
a. $T$ 把 $\mathbb R^n$ 映射到 $\mathbb R^m$ ，当且仅当 $A$ 的列生成 $\mathbb R^m$
b. $T$ 是一对一的，当且仅当 $A$ 的列线性无关。

简证：
a. $A$ 的列生成 $\mathbb R^m$ 当且仅当方程 $Ax=b$ 对每个 $b$ 都相容，换句话说，当且仅当对每个 $b$ ，方程 $T(x)=b$ 至少有一个解，这就是说， $T$ 将 $\mathbb R^n$ 映射到 $\mathbb R^m$ 上。
b.由定理11的证明已知，单射等价于 $A$ 没有自由变量。没有自由变量等价于各列线性无关。

定理4设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，则下列命题是等价的。
a.对于 $\mathbb R^m$ 中的每个 $b$ ，方程 $Ax=b$ 有解。
b. $\mathbb R^m$ 中的每个 $b$ 都是 $A$ 的列的一个线性组合。
c. $A$ 的各列生成 $\mathbb R^m$ 。
d. $A$ 在每一行都有一个主元位置。
定理4说明了，非齐次方程的解与变换 $T$ 之间的关系。要想由 $\mathbb R^n$ 生成 $\mathbb R^m$ ，等价于对于每个 $b$ ，非齐次方程有解，等价于生成矩阵 $A$ 的每一行都有一个主元位置，等价于 $A$ 的各列生成 $\mathbb R^m$ 。

这里存在一个问题，是否能生成整个 $\mathbb R^m$ 空间呢？比如说三维空间。任意一个 $A(3,2)$ 能否生成3维空间呢？答案是不能！
因为 $A$ 仅有2列，所以 $A$ 的各列不能生成 $\mathbb R^3$ 。如下图，在低维升高维的时候，不一定可以覆盖整个高维空间。这一点需要注意。

2维转化为3维

线性代数（一）乱七八糟

线性代数（一）乱七八糟

1引言

2 核心问题

3 利用方程组求解