接上文：从简单过程到伊藤积分
有了伊藤公式，接下来，我将以数学er的视角，暴力地推导出BS公式。
基本假设：市场无套利，无风险利率，股价服从几何布朗运动，波动率为常数
。
注意到在无套利假定下股票的期望收益率刚好为，跟无风险收益率是一样的。
这时候股价服从SDE：
，
是标准布朗运动。
设是敲定价为
的欧式看涨（或者看跌）期权的价格，简记为
，这是一个连续时间的随机过程，它与随机过程
是相关的。
给定时间，期权价格
的分布可能是很复杂的，但是，根据无套利假设和风险中性原理，期权的收益率应该刚好等于无风险收益率， 所以期权价格的期望值
。
从而，我们知道：随机过程是一个鞅！
对应用伊藤公式，得到它的SDE表示，会有
项和
项。
因为它是一个鞅，所以项必须为0。
因为它是一个鞅，所以项必须为0。
因为它是一个鞅，所以项必须为0。
理解了这一点，我们就可以开始动手算了。首先，
接着，
根据我们上面的说法，项为0，于是就有：
这就是欧式期权所服从的抛物PDE！如果我们给它加上边界条件，就能得到一般金融数学教材上所说的欧式期权的定解问题：
上述推导的过程一般化（generalization），就是Feynman-Kac公式，我私以为，理解这个公式本质的最好办法，就是理解一个例子（比如我上面写的这个）。
Feynman-Kac公式说的是，通过将某些抛物型偏微分方程的解写成随机过程的条件期望的方式，可以将求此类微分方程的数值解转化为模拟随机过程的路径。反过来，此一类随机过程的期望可以通过确定性的计算（偏微分方程求解）得到。
接下来呢，我就来说说，如何将求随机过程的期望变成解抛物PDE。
设是某种资产的价格，它服从如下的SDE：
利率满足：
在未来的某个时刻，会有一个payoff
，它是
时刻资产价格的确定性函数，记
是：已知
，
时刻payoff的期望，在
时刻的现值。它的数学表达式：
现在，为了得到的PDE表示，我们需要用风险中性的思想构造出一个鞅。令：
很容易知道，它就是我们要找的那个鞅，就是期权在初始资产价格
的情况下，
时刻的价格。当然，我们可以通过风险中性原理判断它是鞅，也可以单纯用数学的方法。
资产价格随时间变化的信息构成了鞅
对应的 filtration，
接下来，我们用类似的方法，对应用Ito公式，再令其
项为0，不难得到
满足如下的抛物PDE：
如果我们再给定PDE的边界条件，就能运用偏微分方程数值解法对衍生品进行定价啦。
总结一下，本文先以BS公式的推导过程简述了Feynman-Kac公式的思想，后给出了Feynman-Kac公式的一般形式。
