一、域论

域的概念最初被阿贝尔和伽罗瓦用于他们对方程的可解性的工作上。

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• 正整数集，我们发现加法是满足封闭的，但是就不在正整数集中了，即不满足封闭性。
• 整数集，整数里就满足加法和减法的封闭，乘法也满足封闭性，但是除法就不在整数集中了，所以除法不满足封闭性。
• 有理数集，这就是一个域，我们一般使用黑板体表示，Latex命令为\mathbb。有理数集就满足加减乘除封闭。
• 实数集，这也是一个域。那么继续扩充，可以到复数域。
  那么一般域我们都用表示。有了域的概念，我们就可以引入线性空间的概念了。

二、线性空间

线性空间，谈到空间我们想到的是平面空间和三维立体空间，没错，它们就是线性空间。非线性空间我们一般都会感觉到不正常，比如在一些恐怖游戏中经常有传送门或异常的生物出现，这些都不是线性空间。
空间就是一个有着特殊定义的集合（set）。集合的定义我们在高一开始学数学就接触到了，这里就不详细介绍结合中的一些概念（集合的特点）和运算（交集，并集，补集等）了。好了，我们现在有一个集合，这个集合里有一些具有相同性质的元素。这里的元素是任何东西，就是说是抽象的，不仅仅是数字。
我们现在根据这个集合，定义两种运算：

• 加法：
• 数量乘法：
  这里的意思就是任意从这个集合中取出两个元素，进行加法运算，结果还在这个集合里，这叫加法封闭性。数量乘法就是从域中取出一个数，跟集合中的任意一个元素做数量乘法，结果仍然在这个集合中。
  注意：加法和数量乘法是抽象的，是我们定义的。
  这是它是线性空间吗？还不能是，还得满足一些条件：
• 
• 
• There is an element such that for all
• For each there is an element such that
• and
• and
• and
• 
  上面的几条其实看的感觉都是废话，或者你小学就知道了。但是还是要强调一点，这里的部分运算是抽象的。下面我们举个例子，回到你的想象中的线性空间（在线性代数里经常遇到的）：
  For instance, , the set of real column vectors also writen as is a vector space over with respect to the addition
  
  and the scala multiplication
  
  这里我们定义了加法和数量乘法，如果要证明它是线性空间，那么就需要证明上面的性质。都非常好证明，遇到唯一性问题可以用反证法。

再举一个例子：有一个集合，这个集合里的所有元素都是的在实数域上的矩阵。矩阵的元素是抽象的，那个常数或是实数。定义，

• 加法：
• 数量乘法：
  这里我们也很容易证明它是一个线性空间。这里也知道了单位元是单位矩阵，零元就是零矩阵

那么我们生活的最熟悉的三维空间和二维空间也是线性空间。这里要证明的话需要用到几何学的知识。比如三角形法则和平行四边形法则等。

还有一些特殊的线性空间，比如有一个集合，这个集合里的所有元素是一个个多项式，这些多项式的次数（最高次）小于等于，加法和数量乘法就遵循我们初中学习的多项式运算法则即可，这也就构成了一个线性空间。

再比如，有一个集合，这个集合中所有的元素都是定义域为的函数，那么加法和数量乘法遵循函数之间的运算，这也很容易证明它们构成了一个线性空间。

三、线性组合

在线性代数里我们最烦恼的概念和一堆定理与线性相关（Linear Dependent）和线性无关（Linear Independent）相关。这里先从线性组合说起，线性这个词一般就与加法和数乘有关。
我们在域上有个向量，注意这里我们称这些向量叫向量集合（Vector set），接着我们从上取个数，做如下运算：

这样一运算就产生一个新的向量了，如果取遍所有的常数，我们就可以得到一堆向量，无数个向量，那么这些产生出的新的向量就构成了一个线性空间。比如我们任意从这些产生的向量中取出两个，我们发现，加法是封闭的，类似地，数量乘法也是封闭的，再证明那几条性质，就可以证明这是一个线性空间了。我们把这个过程叫做扩张（span）。

接下来就是大家熟悉的线性相关和线性无关的定义了，这里的向量是抽象的，一再强调。
A set is said to be linearly independent if

holds only when . If there are also nontriviall solutions, i.e., not all are zero, then is linearly dependent.

好了，一个向量的集合可以张成一个空间，这个向量集合可以线性无关的，也可以是线性相关的，通俗讲就是这堆向量中是否有向量能用其他向量进行线性表示。

这里请大家想一个问题和过程，线性空间里有无数个向量，而有限的向量可以通过线性组合扩张成线性空间，这是有限个向量。无限个到有限个，这就很伟大。我们欣赏下为什么直角坐标系被命名为笛卡尔坐标系。
这里借助Manim画个图：

vectors.png

cartessin.png

dimension

几何空间（二维空间和三维空间）中，我们都知道基是相互垂直的，即

这个在高中数学中称为向量点乘，在线性代数里我们有内积（Inner Product）的概念。比如在一个维欧几里得空间上，有两个向量，那么它们的内积定义为：

这时候，如果内积为0，那么在几何学中就叫做垂直，在矩阵论中就叫做正交（orthogonal）。笛卡尔坐标系的基就是正交的。

接着，有了基之后，每个向量就可以用基进行线性组合，而组合的前面的系数是数，这是我们能够研究也是善于研究的东西，这个就叫做在这个线性空间中，在这个基（坐标系）下的向量的坐标。有了坐标，以后的研究就是线性代数里东西了。

基(basis)，坐标系(coordinate system)，坐标(coordinate)，我们有了这些特征去描述线性空间和空间里的向量了。从具体到抽象，把你脑子里具体的笛卡尔坐标系抹除掉。

有一个构成的矩阵空间，可以定一组基叫，就是在个元素中，第行，第列是，其余都是。那么维度很清晰了，就是维，任何一个矩阵。

再来看一个式子：

这是Fourier Series，叫傅立叶级数，就是将一个函数（具体条件就不说了）用一组基进行表示，那么这个空间的维度可以看得出是无穷维度的，基是

而且这组基两两正交，那么它们的内积可以定义为：

在其中任意取两个函数，它们按照如上的内积都是0，说明它们是正交的。

四、线性子空间（Linear Subspace）

前面我们知道，线性空间是一个有着定义特殊运算和满足运算规律的集合，它是个集合，那么线性子空间也是个集合，这个集合是原来线性空间的集合的子集，只不过这个子集需要满足加法和数乘封闭，那么还需要满足线性空间的那几条性质吗？不需要了，因为它本身是从线性空间中取出来的子集，自然就是满足了，无需额外验证。

subspace_example.png

子空间的交与和

Theorem：如果是数域上的线性空间的子空间。那么他们的交集也是线性空间上的子空间。
Proof：设，我们根据线性子空间的定义知道：

因为，且，所以，，同理。书上还验证了，我个人觉得是没必要的，既然已经是线性子空间了，所以中一定包含。到这里，已经基本证明完毕了。
在二维平面中，我们可以看出子空间中向量的终点构成了一条过原点的直线，而任意两条不重合的过原点的直线的交集就只有了，而在三维空间中，平面的一般方程为，要想这个子集是的子空间，就必须要平面过点，即。我们知道两个平面的焦点有无数个，构成了空间里的一条直线（这些都是直觉），这条直线也是三维空间的子空间。
Definition：有两个线性空间是数域上的线性空间的两个子空间，定义

称为子空间的和（sum）
Theorem：有两个线性空间是数域上的线性空间的两个子空间，则是的子空间。
Proof：（要证明是子空间，那么就要证明其中的元素满足加法封闭和数乘封闭即可）
设，且，，考察

因为，且是线性子空间，所以设，同理，设，所以。

同样地，是子空间，根据性质，所以。
综上，可知也是线性空间的线性子空间。

在抽象数学中，不要思考，一思考就会犯错误。

Theorem：维度公式：有两个线性空间是数域上的线性空间的两个子空间，有

Proof：设

1. 当时，由，且维度相等，那么；再由，从而（这里需要一点思考，其中是的一部分，那么这两个部分中的所有向量相加，最后得到的还是）。好了，现在，所以；
2. 当时，和1类似地证明即可；
3. 当且时，由，则设为的基，现在我们将和的基补全。
   
   我们要证明，也就是说我们要证明vector set 是的basis。
   设，其中，将和按照给定的basis展开：
   
   
   
   这里我们证明了中的任意一个向量都可以有vector set 线性表示，接下来要证明该vector set线性无关。我们假设
   
   上面推导出的等式分三个部分，第一部分说明，第二部分说明（这里前的系数都是0），所以，而的基为，我们设一些新的系数，设出，我们代入上面推导得到的公式中有
   
   我们发现，这里的是的Linear Combination，而这个vector set是的basis，它们是线性无关的，则可以知道（至此，我们为了证明都为0，现在为0了）。到此，可以知道，由此
   
   而是的basis，所以必有。
   综上，线性无关。中每个元素都可以由这个向量组线性表示，且这个向量组还线性无关，所以这个向量组是的基。