1.人造卫星与在赤道随地球转动物体的运动辨析

【题头】

        万有引力定律这一章的知识内容与牛顿定律及圆周运动的知识联系非常紧密，既有运动学也有动力学，特别是与匀速圆周运动的知识联系紧密。万有引力定律的学习，对学生以后学习库仑力和带电粒子在磁场中的运动是一个基础。其中对于近地卫星、同步卫星与在地面赤道上与地球一起转动的物体的区分是学生认知中的一个难点。

【问题】

A为静止于地球赤道上的物体、B为近地卫星、C为地球同步卫星，地球表面的重力加速度为g，关于它们运行线速度v、角速度ω、周期T和加速度a的比较正确的是

A．νA＞νB＞υC            B．ωA＞ωB＞ωC 

C．TC＞TB＞TA            D．aB＞aC＞aA

【解析】

2.重力到底是什么？

由于地球的吸引而使物体受到的力叫做重力。有没有觉得这话说得有点儿含糊呀？为什么不直接说成是地球的吸引力呢？

    中学物理必修一给出的重力定义是：地面附近一切物体都受到地球的吸引，由于地球的吸引而使物体受到的力叫做重力。这个定义适应低难度的要求，但只轻轻地触动了一下重力的边沿，学生只能看到重力模糊不清的形象。学习了必修二万有引力之后，我们一起来分析一下：1.为什么g 随纬度发生变化？2.为什么变化范围不大？ 

    1687年，牛顿根据开普勒行星运动定律推导出万有引力定律，重力的成因逐步揭开。

1．重力到底是什么？

  考虑到“物体随地球自转，以地心为参考系，物体做匀速圆周运动，其轨迹和圆心如图1：

（1）放在赤道上某点P 的物体受水平地面的支持力和地球的引力（下面简称引力）。根据匀速圆周运动的特点，上述二力的合力提供向心力。根据地面物体受到的支持力与重力平衡，我们可以知道，重力大小等于引力减掉向心力部分。

（2）对放在一般纬度水平地面上Q点的物体，物体受到的支持力、引力，其合力为向心力；先画出引力、向心力的示意图，根据平行四边形定则可以粗略画出支持力的大小和方向，如图1。根据重力与支持力平衡，做出重力示意图，连接引力和重力箭头，可知引力、重力、向心力在一个新的平行四边形上，如图1

问题

  （3）既然重力和万有引力是有区别的，为什么我们还经常说重力等于地球对物体的引力呢？

答案：

    根据万有引力常数G=6.673×10-11N·m2/kg2，地球质量5.974×1024kg，地球平均半径6371km，（实际上地球接近一个椭球，地球两极半径6357km，地球赤道半径6378km）。地球自转周期T=23h56m4s。请你算出赤道处随地球自转物体的向心加速度、引力加速度及二者比值；a向赤 = R×ω2=0.03388m/s2，a引 =9.821m/s2， a向赤占a引的比例为 0.34%等于3.4‰；

可见向心力只占引力的极小部分，据此我们可以这样理解重力：重力大小占地球对物体引力大小的绝大部分，是引力去掉极小部分向心力后在地面能体现出的效果。

在一般运算中，可以忽略地球自转影响，忽略向心力：G=F引，g=a引。

2．重力和重力加速度的大小为什么会发生改变？

    地球自转角速度虽然一样，但不同纬度处的自转半径不同，如图1，根据F= m×R×cosθ×ω2，纬度越低，自转半径越大，需要的向心力越大。根据平行四边形定则，可知，纬度越低，重力加速度越小。（其实地球是一个椭圆，也会使得赤道处重力加速度减小）

    越靠近两极向心加速度越小，重力加速度越大，两极处无向心力，重力等于引力。

    经过实际测量，重力加速度g在赤道处为9.78m/s2，在两极为9.83m/s2，国际上将在纬度45°的海平面精确测得的9.80665m/s2作为标准值，一般计算中取9.80m/s2。

3．什么是竖直，什么是水平？

  我们规定重力的方向为竖直向下，而事实上在赤道和两极以外地区，重力方向并不指向地心，如图1。所以竖直向下并不一定指向地心！工人常用砖头加细线来确定竖直方向，其实就是利用了拉力和重力平衡的原理。现在的手机里面都有“重力感应传感器”，感应手机的姿态可以自动旋转屏幕、还可以玩专门的重力游戏（比如赛车）、用水平仪app找水平面。

水平面是指相对地面静止的水形成的平面，如容器内的水，水平面一定与重力方向垂直。如果把地表严格修理成“球面”，那么在赤道和两极以外，地表的切面将不是水平面！（事实上为了建筑物的稳定，必须保证地基水平，如果是建筑物在“球面”上，实际上是相当于在斜面上）。可以证明，纬度45°时重力方向偏离地心最多（只有0.0985°，据此估算重力作用线偏离地心最大约等于11km）。

小结

      对物体进行受力分析时，什么时候分析物体受到的重力，什么时候分析物体受到地球的引力呢？

      对物体进行受力分析时，如果以地面为参考系，物体受到重力作用；以地心为参考系，物体受到地球的万有引力作用。

3.天体运动中“供需关系”

【引言】

为什么卫星或者飞船由椭圆轨道变为圆形轨道时,需要在远地点处加速,或在近地点处减速?

某同学说：“这是个‘供需关系问题’，当万有引力刚好提供卫星所需向心力时，卫星正好可以做匀速圆周运动；若是供过于需， 则卫星做逐渐靠近圆心的近心运动；若是供不应需， 则卫星做逐渐远离圆心的离心运动。”你认为该同学说得对吗？

【例题】如图所示，在发射一颗质量为m的地球同步卫星时，先将其发射在离地面高度为h 1 的圆形轨道1上，再通过一椭圆轨道变轨后到达离地面高度h 2 (h 2 >h 1 )的预定圆形轨道2上，使其成为一颗地球同步卫星。已知它在圆形轨道1上做匀速圆周运动时的加速度为a 1 ，地球半径为R. 求该卫星在圆形轨道2上做匀速圆周运动的加速度a 2 和速度v 2 各是多大？

【解析】

设地球质量为M，卫星在离地面高度为h 1、h 2 的圆形轨道1、2上做匀速圆周运动时，由万有引力定律和牛顿第二律得：

解得卫星在离地面高度为h2 的圆形轨道2上做匀速圆周运动的加速度、速度分别为：

【 品析】

当卫星受到的万有引力与所需要的向心力相等时，即满足F向＝F万 (供需平衡)，结合向心力公式可确定卫星的线速度、角速度、加速度、周期的大小。在这一条件下，它的运行速率不变，轨道半径不变，称为“稳定运行”。卫星从一个稳定轨道1变到另一稳定轨道2的过程，称为“变轨”过程，此过程不再满足F向＝F万，即“供需不平衡”了，应结合离心运动和近心运动的知识以及能量守恒定律去解决。当卫星速度减小时F万＞F向，即“供过于需”，卫星做近心运动而下降，此时F万做正功，使卫星速度增大，变轨成功后可在低轨道上稳定运动；当卫星速度增大时，与此过程相反。

【拓展】神舟五号飞船首先进入的是距地面高度近地点为200km，远地点为340km的椭圆轨道，在飞行到第五圈的时候，飞船从椭圆轨道运行到以远地点为半径的圆形轨道上，如图所示。飞船在椭圆轨道1上运行时，Q为近地点，P为远地点。当飞船运动到P点时启动控制火箭(俗称“点火”)，使飞船沿圆轨道2运行。以下说法正确的是

      A. 飞船在轨道1上运行时，在Q点的  万有引力大于该点所需的向心力

B. 飞船在轨道1上运行时，在P点的  万有引力大于该点所需的向心力

C. 飞船在轨道1上P的速度小于在轨  道2上P的速度

D. 飞船在轨道1上P的加速度大于在  轨道2上P的加速度

【解析】

1. 在某点，万有引力大于所需的向心力飞船会做近心运动，万有引力小于所需的向心力飞船会做离心运动。故A错误，B正确。

2. 当飞船运动到P点时点火，使万有引力不够提供向心力，使飞船做离心运动而沿圆轨道2运行。所以飞船在轨道1上P的速度小于在轨道2上P的速度，故C正确。

3. 卫星仅受万有引力作用，加速度的大小由万有引力的大小决定，所以飞船在轨道1上P点的加速度等于在轨道2上P点的加速度，故D错误。

【答案】BC

4.第一宇宙速度的含义及其大小的推导

牛顿的设想：牛顿在思考万有引力定律时候曾经设想过，把物体从高山上水平抛出，如果速度一次比一次大，那么落地点会越来越远，如果速度足够大，将会出现怎样的情形呢？为什么会出现这种情况呢（请从受力角度进行分析）？

小结：要发射这个卫星至少需要的速度大小应该满足万有引力刚好提供向心力的情况

那么这个最小的速度大小是多少呢？我们可以用下列两种方法进行分析。

通过上面的分析我们得到了卫星最小发射速度的大小，同时也是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，叫做第一宇宙速度。关于第一宇宙速度我们还有几点注意事项：

(1)参考系问题

地球表面物体随地球一起自转，位置不同具有的速度不同，那么在赤道和北极两处位置分别发射卫星，让卫星环绕地球做圆周运动，发射所需要的相对地面的最小速度一样吗？

小结：不一样，第一宇宙速度以地心为参考系。

(2)最大环绕速度

卫星绕地球的运行轨迹可以简化为匀速圆周运动，环绕速度为v,轨道半径为r，根据万有引力定律和牛顿第二定律可得

GMm/r2=mv2/r  有

对不同的卫星，G和M相等，因此随着r的变大，环绕速度越小，反之越大。当r=R（R为地球半径）时轨道半径最小，此时环绕速度大小最大，根据第一宇宙速度大小推导过程可知，第一宇宙速度的大小恰好是卫星环绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度。

(3)与航天器起飞速度的区别

航天器从起飞到入轨过程中仍然要经历加速过程，而第一宇宙速度是在地球半径处发射入轨不再施加动力情形下的数值。