[01] 引力:从地表附近到潮汐

引力实质上是时空的一种特征,不过在经典力学看来,引力与其他造成加速度的相互作用一样,可以加上很多简化条件。在地面附近不大的距离内,我们可以认为地球是平坦的,这意味着我们可以忽视地球自转所带来的离心作用,以及可以忽视引力与地球半径的关系,认为其大小与方向处处相同,不与经纬度以及海拔相关联。在这样的假设下,地球表面附近质量为m的任意物体,其受到的引力都可以描述为:
\vec{F}_G=-m_g\vec{g}
其中的矢量\vec{g}就是我们所熟知的重力加速度。在地表附近,引力一般称为重力。同时牛顿第二定律告诉我们,物体所受合外力与其运动状态有关,即:
\vec{F}_a=m_a\vec{a}=m\dfrac{\text{d}^2\vec{x}}{\text{d}t^2}
由于后面将会提到的弱等效原理,两个力中的质量是相同的,即m_g=m_a,于是可以把他划去,得到
\vec{a}=-\vec{g}
发现在引力场中,物体的运动是与质量无关的。这正是伽利略铁球实验所描述的景象。

由于同样的原因,我们假定一个由很多个物体所组成的质量团,假定其中的物体之间没有相互作用。这样的例子有很多,比如云。利用上面的结论,我们可以得到两个推论:
(1) 首先,由于物体的运动与质量无关,所以当这个质量团只受到重力的作用时,他的形状将保持不变;
(2) 更重要的一点:由于(1)的原因,如果我们身处这个质量团中,只通过观测身边的物体,我们无法判断是否有一个力作用在整个质量团上。

第二点推论实际上就是著名的伽利略大船。

我们回到最初的“地球平坦”的假设,当这个假设得不到满足的时候,事情会变成什么样呢?首先当一个物体的尺寸非常大时,不同区域所受到的引力方向将不再相同了。此外,当一个物体的高度非常高时,其顶部与底部收到的引力大小也将差别悬殊。如图所示:

潮汐现象

当物体放大到天体的大小时,引力的不均匀将是显著的。月球对地球有巨大的引力,其对向着月球一面与背对月球的一面都有 ,通常能拉动海水。正对着月球一面的引力更大,导致海水隆起,以及两侧的海平面下降,这就是潮汐。从图上可以看出,潮汐力在垂直的方向将把物体拉长,而在水平的方向使物体扭曲。潮汐力的大小可以用近端引力与远端引力的差值得到。我们用引力的微分来进行计算:

其中的是地月核心之间的距离,假设为地球半径,为万有引力常数,、分别为地、月质量。对其求导,得到引力的差值:

由于地-月距离d大约为38万km,远远大于地球半径的6371km,给上面的微分乘上地球半径得到地表-地心的引力差,取绝对值,这就导出了潮汐力大小的表达式:
F_{tidal}=\dfrac{2GMmr}{d^3}

我们感兴趣的另一点,是一个天体过分接近另一个天体时,取这个倒霉天体内表面的一个质量微元——比如一块石头——u。潮汐力会把这个质量u拉向大天体,如果这个小天体对他的引力无法与这个拉开的力抗衡,这个质量微元将被拉上天,然后倒霉的天体将慢慢被撕碎。因而有下面这个等式:
\dfrac{2GMur}{d^3}=\dfrac{Gmu}{r^2}
解得这个关键的距离d满足
d=r\sqrt[3]{\dfrac{2M}{m}}
一旦一个小的天体与大型天体之间的距离小于d,这个天体将面临着被撕碎的命运——当然,如果他够小并且够坚固,就像天上的众多人造卫星一样,他是完全可以躲过一劫的。这个距离叫做Roche(洛希)极限。

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