从椭圆的一般方程推导标准方程

推导过程

椭圆的一般方程可以写成如下形式
$Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0 \tag{1}$
写成矩阵形式
$\begin{bmatrix}x & y\end{bmatrix} * \begin{bmatrix}A & \frac{1}{2}C \\ \frac{1}{2}C & B\end{bmatrix} * \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}D & E\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} + F = 0 \tag{2}$
将矩阵 $\begin{bmatrix} A & \frac{1}{2}C \\ \frac{1}{2}C & B \end{bmatrix}$ 进行特征分解，可得
$\begin{bmatrix}x & y\end{bmatrix} * U * \begin{bmatrix}\lambda_0 & 0\\0 & \lambda_1\end{bmatrix} * U^- *\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}D & E\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} + F = 0 \tag{3}$
U是列向量相互正交的矩阵，可以把它看作是对向量的旋转，旋转后的向量记作 $\begin{bmatrix} x' & y' \end{bmatrix}$ ，于是有
$\begin{bmatrix}x & y\end{bmatrix} * U = \begin{bmatrix}x' & y'\end{bmatrix} \tag{4}$

$U^- * \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x' \\ y'\end{bmatrix} \tag{5}$

$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = U *\begin{bmatrix}x' \\ y' \end{bmatrix} \tag{6}$

将 $(4)、(5)、(6)$ 代入 $(3)$ 可得
$\begin{bmatrix}x' & y' \end{bmatrix} *\begin{bmatrix}\lambda_0 & 0\\0 & \lambda_1\end{bmatrix} *\begin{bmatrix}x' \\ y'\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}D & E \end{bmatrix}*U* \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} + F = 0 \tag{7}$
令 $\begin{bmatrix} D' & E' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} D & E \end{bmatrix}* U$ ，代入 $(7)$ 可得
$\lambda_1 {x'}^2 + \lambda_2 {y'}^2 + D'x' + E'y' + F = 0 \tag{8}$
考虑
$x + ax^2 = 0 \tag{9}$
我们可以将它写成以下形式
$(x + s)^2 - s^2 = 0 \tag{10}$
其中 $s = \frac{1}{2} a$ ，令 $s_0 = \frac{D'}{2 \lambda_{0}}，s_1=\frac{E'}{2 \lambda_{1}}$ ，代入 $(8)$ 中，并利用公式 $(10)$ 可得
$\lambda_0[(x' + s_0)^2 - {s_0}^2] + \lambda_1[(y' + s_1)^2 - {s_1}^2] + F = 0 \tag{11}$
移项后可得
$\lambda_0(x'+s_0)^2 + \lambda_1(y'+s_1)^2 = \lambda_0 {s_0}^2 + \lambda_1 {s_1}^2 - F \tag{12}$
令 $u = \lambda_0 {s_0}^2 + \lambda_1 {s_1}^2 - F$ ，代入 $(12)$ 可得椭圆的标准方程
$\frac{(x'+s_0)^2} {\frac{u}{\lambda_0}} + \frac{(y'+s_1)^2} {\frac{u}{\lambda_1}} = 1 \tag{13}$

椭球

椭球的一般方程可以写作
$Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0 \tag{14}$
写作矩阵形式
$\begin{bmatrix}x & y & z\end{bmatrix} * \begin{bmatrix}A & \frac{1}{2}D & \frac{1}{2}E \\ \frac{1}{2}D & B & \frac{1}{2} F \\\frac{1}{2}E & \frac{1}{2}F & C\end{bmatrix} * \begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} G & H & I \end{bmatrix}*\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix} + J = 0 \tag{15}$
推导方式与椭圆的推导一模一样。

最后编辑于：2020.11.10 20:13:10