系列介绍：

本系列分为四讲，将从基本概念入手循序渐进，采用白话风格叙述，最后结合真实股票数据进行回测演示，敬请期待。长话短说，让我们开始进入正题。

边际效用

我们拿“吃烤鸭”来举例。譬如你去北京旅游，选了当地有名的烤鸭店就餐！难得到访，食欲大增，你一贪心要了3只烤鸭。边际效用就好比你每多吃一只烤鸭，所带来的幸福感。

脑洞大开，我想象了一下，情况可能像这样：

当你吃第一只时，口齿留香，回味无穷，还顺带着填饱了肚子；

当你吃第二只时，已经吃撑了，饱腹感降低了，味道也觉得没之前美味了；

当你吃第三只时，吃到一半你发现已经吃懵逼了，这时候美味啥的已经抛诸脑后，你唯一想到的是，尽快找厕所。。。。。。

边际效用即每增加一个单位的数量，所获得的效用。

效用函数的特点

边际效用呈现递减趋势，即每增加一个单位数量，所获得的效用逐渐下降

我们称这样的函数是凹函数，其特征是曲线上的任意两点 x1 和 x2 都满足：

用图形展现出来就是：

期望效用假设

我们还是先来看一个例子，譬如公司从这个月起施行新政策调整发工资的方式，给你两种选择：

A：和以前一样，这个月固定发给你1000元。

B：公司会通过抛硬币游戏来确定你的工资。具体玩法是正面朝上，当月你的工资翻倍为2000元，反面朝上当月没有工资。

我们这里假设硬币和抛的人本身都是理想情况下的，即不存在做过任何手脚的可能。你会如何选择？

怎么样，选好了吗？小编相信凭借直觉，你的第一反应是选 A。

好吧，老板表示对结果很不满意，为了让你更“理性”地看待问题，老板替你做了“科学地”分析，事实上，这两个选择理论上的期望收益是相同的。

A的期望收益固定死了1000元，即 E(A) = 1000；

B的期望收益我们需要结合概率来计算一下，即 E(B) = 0 x 0.5 + 2000 x 0.5 = 1000元。老板又再给了你一次重新选择的机会！这次你会改变原来的选择吗？

虽然的确如老板所说，两个选择拥有相同的期望收益。但你可能还是觉得，虽然选择B有机会获得双倍工资，但是同样也冒着分文未得的风险。与其如此，不如选择1000元的固定工资来的可靠。

恭喜你，你没有被老板忽悠成功！那么我们来看看这到底是怎么回事吧？为此我画了下面这个图来进行解释。

图中 X0 代表1000元的工资，红点代表你选择固定工资对应的效用。

我们假设抛硬币的结果为 X，正面记作X2，反面记作X1，各自发生的概率各为50%。选择抛硬币的方式，期望收益的确与固定工资相同，然后他们的效用确有所区别。

B方式的期望效用 U = 0.5 · E[U(X1)] + 0.5 · E[U(X2)] （图中紫色点）。

结论是：通过抛硬币得到的效用（紫色点）＜ 接受固定工资得到的期望效用（红色点）。因此作为理性人，应该选择不进行投资。

我们也给予这类人一个名词“风险厌恶者”，不要担心，这并不是什么贬义词，通常来说，人们都是属于风险厌恶者。讲了那么多，现在回过头来解释“期望效用假设”。

期望效用假设认为，决策者都是风险厌恶者，只会依据最大期望效用来进行决策（注意不是最大期望收益）。

风险溢价

事实上我们把两种选择的效用差异，称作风险溢价。由此我们引出了下图，这里简单做一下说明。

对于风险厌恶者，能够使他放弃原有稳定的资产收益，进行风险投资的原因，是期望能够获得正向补偿（图中的ΔU'）。这就要求投资的期望收益E(R)足够大，且能够产生高于原有效用的正向风险溢价（右侧紫点）。

风险分摊

我们常会听到“不要把所有鸡蛋放在一个篮子里面”，用来告诫投资者注意风险分摊。那么这里的依据又是什么呢？

仍旧拿抛硬币夺工资的例子往下说，这次老板和你说了，那现在游戏规则改了，你可以抛两次硬币，都为反面的情况下，将无法获得工资。如果一正一反，按原工资发。如果两次都为正，那么奖励你双倍工资。

虽然你可能还是凭直觉，但这次你感觉风险比之前小多了。多抛了一次硬币真的就能分摊风险吗？我们还是通过看图说话比较容易理解：

如图所示，原先左右两条黄色柱状条代表了工资翻倍和扣光的概率（各为50%），对应的效用是紫色点。改为抛两次硬币后，扣光与翻倍的概率下降到阴影部分（25%），而按正常工资支付的概率为（50%）。

相当于将概率分布向中心聚拢，得到离中心更近的两个点C和D，由于凹函数的特性，使得红线上的期望效用要高于紫线上的，效用也就随之提升了。

有一点需要注意，实际上这里说的概率分散与集中，就是统计学中说到的标准差。后续章节我们进一步展开，今天先到这里吧。更多内容敬请关注微信公众号“数据夕拾”。