## 题目
求函数$f(x,y)=(6x-x^2)(4y-y^2)$的极值
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## 思路
分别求出$f_x(x,y)$和$f_y(x,y)$的表达式并且使它们同为为零，写出所有驻点。接着，分别求出$f_{xx}$,$f_{xy}$,$f_{yy}$的表达式，并分别带入驻点分别得到$A$，$B$，$C$，然后根据公式
$$\Delta=AC-B^2$$
|$\Delta$| 有无极值 | 讨论 |
| :----: | :----: | :----: |
| $>0$ | 有 |$A<0$,有极大值;$A>0$,有极小值|
| $<0$ | 无 | |
| $=0$ | 可有可无 |另需讨论|
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## 解
$f_x=3(3-x)y(4-y)=0$
$f_y=2x(6-x)(2-y)=0$
$f_{xx}=2(y^2-4y)$
$f_{xy}=4(3-x)(2-y)$
$f_{yy}=2(x^2-6x)$
可解的所有驻点:$(0,0),(0,4)(3,2)(6,0)(6,4)$
分类讨论：
1. $(0,0):$
$f_{xx}=2(y^2-4y)=0$
$f_{xy}=4(3-x)(2-y)=24$
$f_{yy}=2(x^2-6x)=0$
$\Delta=-576<0$
所以$(0,0)$不是极值点
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2. $(0,4):$
$f_{xx}=2(y^2-4y)=0$
$f_{xy}=4(3-x)(2-y)=-24$
$f_{yy}=2(x^2-6x)=0$
$\Delta=-576$
所以$(0,4)$不是极值点
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3. $(3,2):$
$f_{xx}=2(y^2-4y)=-8$
$f_{xy}=4(3-x)(2-y)=0$
$f_{yy}=2(x^2-6x)=-18$
$\Delta=(-8)\times(-18)-0^2=144>0$
又$A=f{xx}(3,2)=-8<0$,所有函数在$(3,2)$处取得极大值。
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4. $(6,0):$
$f_{xx}=2(y^2-4y)=0$
$f_{xy}=4(3-x)(2-y)=-24$
$f_{yy}=2(x^2-6x)=-0$
$\Delta=-576<0$
所以$(6,0)$不是极值点
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5. $(6,4):$
$f_{xx}=2(y^2-4y)=0$
$f_{xy}=4(3-x)(2-y)=-24$
$f_{yy}=2(x^2-6x)=-0$
$\Delta=-576<0$
所以$(6,4)$不是极值点
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###### 综上：
函数$f(x,y)=(6x-x^2)(4y-y^2)$的极大值为$f(3,2)=36$, 无极小值
