1.6 概率分布的方差 Variance of probability distributions

1. 方差（Variance）

上节讲完期望（均值），紧接着就说到了方差

1.1 方差表达式

方差 $\langle \Delta x^2 \rangle$ :就是离散（or 连续）函数中每一个数减去期望

$\Delta x = x_i - \langle x\rangle$ ，

然后平方 $\Delta x^2$

最后再对得到的平方值，求期望，

就得到了方差 $\langle \Delta x^2 \rangle$

然后又有数学家发现，求解方差还有一个简便的公式：

$\langle \Delta x^2 \rangle = \langle x^2 \rangle - \langle x \rangle ^2$

附上推理过程如下：

$\langle \Delta x^2 \rangle = \int \Delta x^2 p(x)$

这是上节中的期望求解公式

$= \int (x-\langle x \rangle)^2 p(x) dx$

将 $\Delta x$ 分解成 $\Delta x = x_i - \langle x\rangle$

$= \int (x^2 - 2x \langle x \rangle + \langle x \rangle^2) p(x) dx$

然后再把平方带入到括号里

$= \int x^2p(x) dx - \int 2x \langle x \rangle p(x) dx + \int \langle x \rangle^2 p(x) dx$

分解

$= \langle x^2 \rangle - 2\langle x \rangle\langle x \rangle + \langle x \rangle ^2$

最后，再根据期望求解公式就得到了结果

$= \langle x^2 \rangle - \langle x \rangle ^2$

注意： 方差 = 平方的期望 - 期望的平方

$\langle \Delta x^2 \rangle = \langle x^2 \rangle - \langle x \rangle ^2$

2. 归一化（又称正则化，Normalization）

量子力学认为物质是以波函数的形式存在的，对波函数求平方等于物体存在的概率。
但是无论物质可能在什么地方出现，将所有概率加和必定等于一.这就引申处波函数最重要的性质；归一性
所以只有经过归一化处理的波函数才是可用的波函数

波函数归一化的步骤：

得到概率： **对波函数平方积分: **

$\int_a^b |\psi|^2=P|_a^b$
使波函数等于一个有限值（finite value），然后除以一个常数（divide a constant）,就可以将其等于一。

归一化和波函数随时间的变化
对波函数进行归一化之后，试想一下，如果将概率函数对时间求导会发生什么呢？
[图片上传失败...(image-e7a306-1599985862668)]

$\frac{d}{dt} \int |\psi(x,t)|^2 dx$

$= \int \frac{\partial}{\partial t}|\psi(x,t)|^2 dx$

$= \int \frac{d}{dt} (\psi^*\psi) dx$

$= \int \frac{\partial \Psi^*}{\partial t} \psi + \psi^* \frac{\partial \psi}{\partial t}$ $\bigstar$

$\spadesuit$ 插点：将经典薛定谔方程拿过来

$\because i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial{t}} =-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+V(x)\psi$

上式薛定谔方程左边是 $t$ 的函数，右边是 $x$ 的函数，两边同时除以 $i\hbar$ 后得到

$\therefore \frac{\partial \psi}{\partial{t}} =-i\frac{\hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}-i \frac{V(x)}{\hbar}\psi$

将 $\spadesuit$ 带入公式 $\bigstar$ 得到

$= \int \left[ \left(-i\frac{\hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi^*}{\partial x^2}+ i \frac{V(x)}{\hbar}\psi^* \right) \right] \psi$

$+ \int \left[ \psi^* \left[ \left(i\frac{\hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}-i \frac{V(x)}{\hbar}\psi \right) \right]\right] dx$

$= \int \frac{i\hbar}{2m}\left( -\frac{\partial^2 \Psi^*}{\partial x^2} \psi + \psi^* \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} \right)dx$

至此，我们将概率函数对时间的导数，转化为波函数对坐标x的导数

3. 讨论：概率函数和时间的关系

接着上面的推导出来的等式：

$\frac{d}{dt} \int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x,t)|^2 dx$

$=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{i\hbar}{2m}\left( -\frac{\partial^2 \psi^*}{\partial x^2} \psi + \psi^* \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} \right)dx$

可以接着化简，将 $\frac{\partial}{\partial x}$ 提出来

$=\frac{i\hbar}{2m} \int \frac{\partial}{\partial x} \left( -\frac{\partial \psi^*}{\partial x} \psi + \psi^* \frac{\partial \psi}{\partial x} \right) dx$

去掉积分符号：
$=\left. \frac{i\hbar}{2m} \left( -\frac{\partial \psi^*}{\partial x} \psi + \psi^* \frac{\partial \psi}{\partial x}\right) \right|_{-\infty}^{\infty}$