杨武之师从名家L．E．迪克森（Dickson），研究代数学和数论。1926年以《双线性型的不变量》一文获得硕士学位。两年之后，又以《华林问题的各种推广》，使杨武之成为中国因数论研究而成为博士的第一人。
所谓华林问题，是指下列猜想：每个正整数都是4个平方数之和，9个立方数之和，一般地，g（k）个k次方数之和。1770年，J．－L．拉格朗日（Lagrange）证明了每个正整数确实是4个平方数之和，即g（2）=4。1909年，大数学家D．希尔伯特（Hilbert）证明：g（k）必是有限数。1928年，杨武之的导师狄克逊证得：g（3）=9。另外，S．W．贝尔（Baer）证明，凡大于23×1014的整数是8个立方数之和。于是狄克逊要杨武之考虑带系数的华林问题，即每个正整数f可否表示为f=rx3十C7，其中C7=x31十x32十…十x37，r=0，1，2，…，8．杨武之很快得到下述结果：
1．凡是大于14．1×4016的正整数都可表示为rx3十C7，其中r=5，7。
2．凡大于（30．1）×4196的正整数都可表示为3x3十C7。
3．凡大于23×1014的正整数都可表为8×c3十C7。
4．凡大于23×1014的奇正整数都可表示为rx3十C7，其中r=2，4，6。
5．凡大于23×1014的奇正整数的两倍，都可表为2x3十7。
杨武之的博士论文还讨论了带系数的7次方数的表示等问题。
杨武之最好的工作是关于棱锥数的华林问题。棱锥数p（n）=1/6（n3－n）是三角形数f（n）=n/2（n十1）的推广。1640年，费马（Fermat）猜测每个正整数都是不超过3个三角形数之和。后来证明这是对的。至于每个正整数能表示为几个棱锥数之和，也陆续有人研究。1896年，W．J．马耶（Maillet）首先得到，每个充分大的正整数是12个棱锥数之和。1928年，杨武之在博士论文里证明：
每个正整数都可写成9个棱锥数之和。此结果在20余年内没有改进，直至G．N．沃森（Watson）在1952年将“9个”减为“8个”。到1991年为止，这仍是已证明了的最好结果。
电子计算机出现之后，许多人曾作过实际验算，认为除241个例外数之外，小于106的正整数都是5个棱锥数之和。1991年，杨振宁和邓越凡等人的计算表明，凡小于109的正整数，除了17，27，…，343867等241个例外数之外，都是4个棱锥数之和。他们猜想，除这241个数之外，表示任何正整数，只要4个棱锥数就够了。
杨武之的这篇博士论文，首先在美国数学会的会议上作了介绍（1928年4月6日）。同年美国数学会通报第34卷，第412页上曾对此作了报道。以后全文发表于1931年的《清华理科报告》。
杨武之在清华大学讲授过很多代数课程，特别是30年代初开设的群论课，影响了大批的后学者。
华罗庚来到清华大学以后，选择数论为研究方向，而且集中研究华林问题，显然是受到杨武之的直接影响。华罗庚在1980年写给香港《广角镜》周刊的一封信说：“引我走上数论道路的是杨武之教授。”
华罗庚于1936年赴英国，追随G．H．哈代（Hardy）学习解析数论，成绩卓著。杨武之为自己的学生超过自己而高兴非凡。1938年华罗庚回国后到西南联合大学任教。当时担任系主任的杨武之，不顾学校里的各种反对意见，向校方提出破格提升华罗庚的职务，即越过讲师、副教授直升正教授。起初校方以华罗庚未在英国拿博士学位而拒绝，后经杨武之力争，最终才得到同意。所以，华罗庚在上述给《广角镜》的信中也写道：“从英国回国，未经讲师、副教授，直接提我为正教授的又是杨武之教授。”
在西南联合大学时期，杨武之和华罗庚曾同住于昆明西北郊的大塘子村。两家过往很密。当年，华罗庚曾有一信给杨武之，内称：“古人云：生我者父母，知我者鲍叔。我之鲍叔即杨师也。”
杨武之所师法的迪克森学派，在本世纪初的美国影响很大。后来由于英国、苏联等国的解析数论的兴起而渐渐式微。所以，杨武之的数论研究虽曾起过启蒙和推动的作用，可惜由于迪克森学派的衰落而未能发挥重大影响。中国数论学派，在华罗庚的领导下，获得了重大的发展。饮水思源，人们将会缅怀杨武之在早期所发挥的前驱作用。
杨武之与杨振宁
杨武之是杨振宁除了物理系直接教他的这些教授们外，对他的影响相当大的一个人。杨武之是一位将近世代数和数论、将西方现代数学方法引入中国的我国现代数学的先驱者之一，也是一位为我国数字教育作出重要贡献的数学家。杨武之是一位教学极为认真的教授，也是一位教子极为严格的父亲。他早就在日常生活中，循循善诱，潜移默化地将不少数学知识传授给了儿女们。杨振宁在学校里，遇有不懂的问题、碰上难以处理的事，总是经常跑到数学系办公室向父亲请教。杨振宁后来说：“父亲对我们子女们的影响很大。从我自己来讲：我小时候受到他的影响而早年对数学发生浓厚的兴趣，这对我后来搞物理学工作有决定性的影响。”杨武之对杨振宁的影响，一直长久地发生着和存在着。
