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对数不行的话，做做“对数基础练习

对数不行的话，做做“对数基础练习

源头：

$\log _{n} N=b \quad \Leftrightarrow \quad a^{b}=N \quad a>0,a\neq 1$

衍生

零和负数没有对数.
1的对数等于0.
理由：因为 $a^{0}=1$ ，所以 $\log _{a} 1=0$ 。
底的对数等于1
理由：因为 $a^{1}=a$ ，所以 $\log _{a} a=1$ 。
$a^{\log _{a} N}=N$
理由：设 $\log _{a} N=b$ ，则 $a^{b}=N$ ，把 $b=\log _{a} N$ 代入 $a^{b}=N$ ，便得到 $a^{\log _{a} N}=N$ 。
$\log _{a} a^{b}=b$
理由：设 $a^{b}=N$ ，则 $\log _{a} N=b$ ，把 $N=a^{b}$ 代入，便得到 $\log _{a} a^{b}=b$ 。
$\log _{e} N=\ln N$
$\log _{10} N=\lg N$
$\log _{a} N=\frac{\ln N}{\ln a}$
理由：设 $\log _{a} N=b$ ，则 $a^{b}=N$ ，两边取自然对数得：
$\ln a^{b}=\ln N$
由于 $a=\mathrm{e}^{\ln a}$ 因此
$\ln a^{b}=\ln \left(e^{\ln a}\right)^{b}=\ln e^{b \ln a}$
$=b \ln a$
所以
$b=\frac{\ln N}{\ln a}$
从而有
$\log _{a} N=\frac{\ln N}{\ln a}$ 。

基础练习

求下列对数的值
$\log _{2} 1, \quad \log _{2} 2, \quad \log _{2} 64,$
$\quad \log _{\frac{1}{2}} 8, \quad \log _{10} 0.001$
计算下列各式的值
(1) $2^{\log _{2} 0.29} ;$ (2) $10^{\log _{10} \sqrt{5}}$
$(3) \log _{e} e^{-2.5} ; \quad(4) \log _{c} e^{\sqrt{3}}$
把下列指数式写成对数式：
（1） $\mathrm{e}^{x}=18$
（2） $0.5^{x}=6$
（3） $1.012^{x}=1.43$
（4） $0.9017^{x}=0.5$
求下列对数的值：
$\log _{3} 1, \quad \log _{\frac{1}{3}} \frac{1}{3}, \quad \log _{3} \frac{1}{9}$
$\log _{\frac{1}{3}} 27, \quad \log _{5} \frac{1}{25}, \quad \log _{10} 10$
$\log _{10} 0.1, \quad \log _{10} 10000$
$\log _{0.1} 10, \quad \log _{0.1} 1$
计算下列各式的值：
(1) $\quad 3^{\log _{3} 19.8}$
(2) $5^{\log _{5} 0.068}$
(3) $\log _{7} 7^{0.9}$
(4) $\log _{9} 9^{\sqrt{11}}$
(5) $\log _{6} 6^{-1.8}$
(6) $\log _{e} e^{-\sqrt{7}}$
求下列各式的值：
$(1) 2^{3+\log _{2} \sqrt{5}}$
$(2) e^{\ln \pi}$
$(3) \ln e^{-2.8}$
解下列方程：
(1) $e^{x}=18$
(2) $0.5^{x}=6$
(3) $1.012^{x}=1.43$
(4) $0.9017^{x}=0.5$

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