[Haskell] Kleisli Arrow and Kleisli Category

1. Kleisli Arrow

Arrow是Control.Arrow模块定义的一个类型类（class），
包含了，arr，first，second，(***)，以及(&&&)这几个方法。

对于每一个Monad，我们可以定义相应的Kleisli Arrow，

newtype Kleisli m a b = Kleisli {
  runKleisli :: (a -> m b) 
}

例子：因为[]是一个Monad，

import Control.Arrow

double' :: Kleisli [] Integer Integer
double' = arr (*2)

runKleisli double' 1
> [2]

2. Kleisli Category

In category theory, a Kleisli category is a category naturally associated to any monad T.

为此，我们先看在范畴论（category theory）中Monad是怎样定义的，

因此，一个Monad (T, η, μ)就是一个自函子T，以及两个自然变换η和μ，
并且满足一些约束条件（law）。

然后，再看Kleisli Category的定义，

因此，假设范畴X中定义了一个Monad T，则X对应的Kleisli Category，
它的对象（object）一一对应范畴X中的对象，
它的箭头（arrow）一一对应范畴X中的箭头，f : x -> T y，
这个箭头，正是Monad T对应的Kleisli Arrows。

附

使用Haskell，表示自函子（endofunctor）与自然变换（natural transformation）。

-- 自函子T，作用在对象上时
fObj :: (Applicative f) => a -> f a
fObj = pure

-- 自函子T，作用在箭头上时
fArr :: (Applicative f) => (a -> b) -> (f a -> f b)
fArr = fmap

-- 自函子T·T
f2Obj :: (Applicative f) => a -> f (f a)
f2Obj = fObj . fObj

f2Arr :: (Applicative f) => (a -> b) -> (f (f a) -> f (f b))
f2Arr :: fArr . fArr

-- 单位自函子，作用到对象上时
iObj :: a -> a
iObj = id

-- 单位自函子，作用到箭头上时
iArr :: (a -> b) -> (a -> b)
iArr = id

-- 自然变换 µ : T·T -> T，分量 µ a : T·T a -> T a
µ :: (Applicative f) => a -> f (f a) -> f a

-- 自然变换 η:I -> T，分量 η a : I a -> T a
η :: (Applicative f) => a -> a -> (f a)

参考

Kleisli Arrows
Kleisli Category
Monad
Monads and Algebra structures