前言：

“老师，x = 1是方程吗？”

根据教材中关于方程的定义可知，“含有未知数的等式叫方程”。在x = 1中，既有未知数x ,又有表示等式的=，即x = 1满足教材中方程定义的条件，所以x = 1是方程。

但是这样的讨论，几近文字游戏，对于学生理解方程思想方法并无裨益，一本正经地专门讨论，毫无必要。

正文：

人教版、北师大版和苏教版教科书上关于方程的定义都是这样描述的——“含有未知数的等式叫方程”。同时，方程二字是用红色大字标出。

那这里是不是意味着教材关于方程定义的描述是错误的呢？

张奠宙教授在《小学数学教材中的大道理》一书中指出，教材中关于方程的定义最明显的漏洞是把“未知数替换成为字母”，变成了“含有字母的等式，称为方程”。

首先，将“含有未知数的等式”偷换为“含有字母的等式”在逻辑上是不允许的。其次，“含有字母的等式”种类很多，可以具有不同的意义。这就是说，“含有字母的等式”未必都是方程。方程只是“含有字母的等式”的一种情形。这个所谓的方程定义，在逻辑上“以偏概全”。

方程中的字母是一个特定的数字，叫做根。但是字母可以表示其他的意义。以下是三个例子：

1.字母泛指任意数。例如，描述加法交换律的式子a + b = b + a , 也是含有字母的等式，但这并不是方程。

2.字母表示某类数。例如，三角形面积公S=1/2ah，其中a是底边，h是这条底边上的高，这也和方程求未知数没有关系。

3.字母表示变量。例如，函数也是含有字母的等式，它们虽然可以看作是某条曲线的方程，但是一旦作为函数进行研究，在意义上是表示两个变量的依赖关系，这与方程求根也是不相同的。

小结：

这就是说，认为“方程是含有字母的一种等式”是可以的，反过来，认为所有“含有字母的等式都是方程”就不对了。“含有字母的等式叫方程”不能当作严格的定义来看待。如果非要拿它当基本出发点来判断是非，硬要人们承认x = 1是方程，恐怕是一种自我折腾，不足为训。

可见，只描述方程外貌的定义是不能称为是定义。一个定义，最好是能够帮助人们进行理解的，正如认识一个人，光靠一张照片是不够的，最好有一份简历。好的定义是要能够揭示所定义对象的本质。因此，传统教材中对方程的定义需要修改，且需要突出方程的本质含义。

那方程的定义应该是怎样的呢？方程的本质是什么？

1.方程的由来

通过方程二字的说起——方程两个字，西方是没有的，西方有的只是“等式”，英文是equation。方程两个字是来源于我国的《九章算术》中的解线性方程组《九章算术》第八卷，标题是方程（郭书春, 2004）。所讨论的问题是：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”翻译：假设上等禾三捆,中等禾二捆,下等禾一捆,能结出粮食三十九斗；上等禾二捆,中等禾三捆,下等禾一捆,能结出粮食三十四斗；上等禾一捆,中等禾二捆,下等禾三捆,能结出粮食二十六斗.求上、中、下三等禾每捆能结多少粮食?

即，求解三元一次方程组的问题。中国古代，将方程组的各项系数和“实”之数，用算筹布列成矩阵状（即今之增广矩阵，也是“方”字的由来），然后用消元法变换这些系数（“程”就是计量），最后求得问题的解。

也可以说，方程中的“方”的意思是说，把线性方程组的系数排成一个方阵（由系数与常数构成的方阵）；“程”的意思是按照一定的程式进行运算的过程（程就是程式），合起来可以说是矩阵的初等变换，也就是加减消元法。即方程的本义是列成方阵作程式化求解，所以教材中不该狭隘地理解为“含有未知数的等式”。

2.方程的发展

那么“方程”的涵义又是如何发展的呢？

刘徽（魏晋时代人，生卒不详）是这样界定方程的：“群物总杂，各列有数，总言其实，令每行为率。二物者再程，三物者三程，皆如物数程之。立列为行，故谓之方程。” （郭书春, 2004）

结合《九章算术》方程章的问题，就可以知道，“方程”二字，其核心思想是借助一组等式关系求出未知数，所面对的是一个多元一次方程组。

同时，中国古代在高次方程求解上贡献很大，世称“天元术”。明末清初，西方的algebra 传入中国。中文音译为“阿尔热巴喇”，也称之为“借根方”术，那时没有把“天元术”和方程联系在一起。直到，1859年，李善兰（1811 ~ 1882）和伟烈亚力（A. Wylie, 1815 ~ 1887）合作翻译英国著名数学家德摩根（又译棣么甘, A. De Morgan, 1806 ~1871）著的《代数学》（Elements of Algebra）。第一次将equation译成方程。原文是：

“Every collection of algebraical symbols is called an expression, and when two expressions are connected by the sign = , the whole is called an equation.”（A. De Morgan, 1837）

李善兰和伟烈亚力将这句话译为“并代数之几数名为式，两式之间作等号，谓之方程。”（棣么甘, 1859）

从原文来看，equation 就是“将两个代数式用等号连接起来的式子”，全然还是等式的原始本意，并没有任何“未知数”之类的意思。那么为什么李善兰没有将equation直译为等式，而是意译为“方程”呢？这其实就是对数学概念、西方学术里融入中华文化，这是一个意义深远的中国式再创造。

在李善兰看来，中国的天元术和解线性方程组，都是从一个或一组等式求出那些符号所代表的未知数之值。这样一来，方程就是一种等式关系，但又超出了“等式”原来的含义。

中国的方程一词，是和“求未知数”、“求满足等式的根”这样的含义联系在一起的。因而“方程”一词具有中国算学特色，和西方的“等式”一词并不对等。

事实上，方程作为最重要的一种等式，在中国以及东方的汉字文化圈里得到传播，使后学从中受惠。至于仅仅把方程看作“含有字母的等式”，那是过于简单化，也是辜负了李善兰的一番苦心。

[if !supportLists]3. [endif]方程的定义

那基于此，如何该给方程下定义呢？

数学大师关肇直先生说过：“在一些问题中，有些量是已知的，有些量是未知的，根据问题的内容，可以知道未知量与已知量之间的关系，从而可以由这个关系从已知量计算出未知量，这就是解方程的问题”。虽然，关先生把方程的本质、定义说的非常透彻，但是因为字数的原因，并不适合直接拿到小学教材中用。

于是，张奠宙先生就代替性地认为方程的定义应该是：“方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系”。这样的定义，即把方程的核心价值——寻求未知数提出来了，又明确方程是一种关系，其特征是“等式”，这种关系把未知数和已知数联系起来了，同时，人们借助这层关系可以找到我们需要的未知数。

这样的提法，既保持了中国古代借数量关系求未知数的核心含义，又符合西方数学中突出等式的界定，体现了中华文化与西方数学的一种融合。

小结：

总而言之，中国人对方程二字的理解，应该具有中华文化的底蕴，才能够更加深入地体会其中所蕴涵的数学思想方法。如果我们把方程仅仅理解为含有字母的等式，那就有点缺乏民族文化自觉性了。

二、小学生为什么不喜欢用方程解题

小明的爸爸今年36岁，比小明年龄的3倍还多6岁，求小明的年龄。

算术方法：（36—6）÷3=小明的年龄

思维：这是从已知爸爸的年龄36出发，减去6，再除以3，一步一步接近小明的年龄，最终得到答案10（逆向思维）

方程方法：设小明的年龄为x，则有方程：3x + 6=36，解得x=10

这是从未知数的小明的年龄x出发，建立和已知的爸爸年龄的关系，根据关系解出未知数x，即通过对消方法，将未知数还原出来。（顺向思维）

通过这一例子，我们可以很清晰的看到。算术方法和方程方法在解题思维上是相反的。打个比方说：如果将要求的答案比喻为河对岸的已块宝石，那么算术方法好像摸着石头过河——从我们知道的岸边开始，一步一步摸索着接近对岸的未知目标；而方程方法好像是将一根带钩的绳子甩过河，拴住对岸的未知数（建立一种关系），然后利用这根绳子（关系）慢慢地拉过来，最终获得这块宝石。（用字母代表数，赋予字母与已知数同等地位参与运算，就可以化逆向思考为顺向思考）

两者的思维不同，但得到的结果相同。

由此可得出，方程方法解题思维过程简单、直接，是顺向思维。但是，在我们日常教学中却发现，除非教师、试卷要求用方程外，学生都不愿意用方程方法来解题。其原因大致分为两类：

1.学了方程没有用

A.小学数学中为小学生提供的问题都比较简单，学生们完全可以用自己非常熟悉的算术方法解决出来，那何必还要费脑用方程呢？学生不愿意用方程，那自然而然就无法体会到方程的优越性。

B.相对于直接列算式解决问题，列方程还要写设和解，算出答案，而且答案后面还不能写单位，与算术方法相比多了不少“清规戒律”，在学生眼里是非常繁琐的。

2.学了方程不够用

简单的题，不用方程，用算术方法就能很快解决，但是有难度的题呢？即使学生能够很顺利地列出方程，但是解方程是会涉及到“移项、负数的运算”，而这些在小学的知识里，是不足以帮助学生解决这些问题的。

三、在教学的时，应该怎么做？

1.变逆为顺，体会方程核心价值

乐乐身高92厘米，哥哥比乐乐身高2倍还高2厘米。哥哥身高多少米？

学生列式求解：92 × 2 +2=186（厘米）

哥哥身高186厘米，比乐乐身高的2倍还高2厘米。乐乐身高多少厘米？

学生列式：

生1：186 ÷ 2 - 2

生2：（186-2）÷2

因为哥哥的身高比乐乐身高的2倍还高2厘米，那么，哥哥的身高去掉2厘米就正好是乐乐的2倍。

画线段图理解算术方法解题思路：

这道题用算术方法涉及到逆向思维，稍一不慎就会出现错误。但若用方程方法，就更加容易，且不易出错。

乐乐的身高是确定的，但目前未知，即可以设置为x表示，那现在能不能用含有x 的式子把“比乐乐身高的2倍还高2厘米”这句话的意思表达出来——2x + 2,这句话即表示比乐乐身高的2倍还高2厘米,还表示哥哥的身高186厘米，即可以列式为：2x + 2 = 186 ，等号两边都表示哥哥的身高。

不难看出，算术方法是逆向思考，方程方程方法是顺向思考，只要把字母代入，就可以直接把题中的数量关系翻译成式子，比算术方法更见的简单便捷，而且不容易出错。

2.化技巧性求解为程式化求解

鸡兔同笼，共有30个头，88只脚。笼中鸡兔各有多少只？

画图法、假设法、抬脚法、吹哨法……

这些每一种方法都是涉及到一定的解题技巧，特别是更适合解决数值较大问题的假设法技巧性很强，学生反复学习操练还是难以掌握，并不适合大多数学生学习。

那采用方程或方程组就非常简单，几乎适合所有的学生学习掌握。即，这就是方程的另一核心价值——化技巧性解读为程式化求解，更具通用性，更为大众化。

那基于方程的两个核心价值：变逆向思维为顺向思维；化技巧性求解为程式化求，以及学生学完后不主动、不愿意使用方程解题，我们教学应该怎样调整呢？

3.建立“建模思想”

以人教版教材为例，方程这一单元安排在5年级上册第5单元，具体内容分四大部分：第一，字母表示数；第二部分，方程的意义；第三，等式的性质；第四，解方程。从四部分内容来看，可以明显看出列方程和解方程是分开的（分别是第二和第四部分）。我们今天讨论的就是第二部分方程的意义，即“列”方程的内容。吴正宪等人主编的《小学数学教学基本概念解读》一书中认为，本节课的关键是“认识方程，让学生经历建立方程模型的过程”，可以看出关键词是经历、模型、过程，并进一步指出方程思想的首要方面是“能根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。因此，在教学时，需要渗透“建模思想”。

同时，因为方程的教学内容是包含两个方面的，即“列方程”和“解方程”，在学生初次接触方程时，只是让学生感受的方程的简便性（两个核心价值），而不需要让其接触到解方程的繁杂部分。也就是说，在“方程的意义”教学时，只需要考虑方程模型的建立，而不需要考虑方程的求解。

那么怎样考虑模型的建立呢？

章勤琼章博士在论文“指向”建议方程模型“的”方程的意义”的教学一文中指出，需要引导学生做两个事情：

1.找相等关系

2.找相等的左右两边分别是什么

引导学生找相等关系，就是思考在天平里有没有相等关系?在哪里?学生容易说出天平的相等关系在左边和右边，那么先写下“左边=右边”。第二个问题是，我们知道了左边=右边，那么，左边是什么?右边又是什么呢?该怎么表示?容易看出，左边是1个瓶子加50克砝码，即x+50，右边是2个100克砝码，即2x100。方程自然就列出来了，是x+50=2x100。请注意，到这里就可以了。不要再问x是多少，这是解方程的事情，是后面要学的。更需要注意的是，在刚开始出示这幅图的时候，不要问学生瓶子是多少克。如果这样问了，到了这个阶段的学生，首先想到的一定是，一个瓶子是200克砝码减去50克砝码。这样一来，算术解法立刻就出来了，之后你再引导他们去列方程，一切都是徒劳了，因为学生觉得明明都已经算出结果了，为什么还要列方程这么麻烦?

当然，经历建立方程模型的过程不是一蹴而就的。所以，需要给学生各种各样不同的情境，有图像的，有文字的，有实物的，有现实的，蕴含各种不同的相等关系，让学生去找。比如下面这幅线段图，同样让学生首先思考，相等关系在哪里，这个时候就不是左边=右边了，而是上边=下边。然后还是上边是什么?下边是什么?该怎么表示?至于x是多少，不要管它。