2019-05-06

奈奎斯特采样定理和奈奎斯特准则，香农定理
- 奈奎斯特准则
  - 无码间串扰准则，理想低通信道下的最高码元传输速率 $= 2W \cdot log_2K$ Baud
  - 其中 $W$ 是理想低通信道的带宽，单位为Hz； $K$ 是多相调制的相数；Baud是波特，即码元传输速率的单位，1Baud为每秒传送一个码元。
  - 每赫兹带宽的理想低通信道的最高码元传输速率是每秒2个码元，若码元的传输速率超过了奈氏准则所给出的数值，则将出现码元之间的干扰，以致在接收端无法正确判定码元是1还是0
  - 对于具有理想带通矩形特性的信道（带宽为 $W$ ），奈氏准则就变为：理想带通信道的最高码元传输速率 $＝1WBaud$
根据奈奎斯特准则我们可以推断出：
- （1）给定了信道的带宽，则该信道的极限波特率就确定了，不可能超过这个极限波特率传输码元，除非改善该信道的带宽；
- （2）要想增加信道的比特传送率有两条途径，一方面可以增加该信道的带宽，另一方面可以选择更高的编码方式。
- 奈奎斯特抽样定理
  - 意思：如果对某一时间连续信号（模拟信号）进行采样，当采样速率达到一定数值时，那么根据这些采样值就能准确地确定原信号。理想采样信号的频谱是原模拟信号的频谱以为周期拓展而成。
  - 设有一个频率带限信号，其频带限制在，如果以不小于的采样速率对进行等间隔采样，得到时间离散的采样信号(其中称为采样间隔)，原信号将被所得到的采样值完全地确定。
  - 引入单位冲激函数（也简称为函数)，构成周期冲激函数
    - $p(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)$
    - 性质： $\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\varphi(t)d(t) = \varphi(0)$
    - 其中 $\varphi(t)$ 为在原点连续的任意信号，并把 $p(t)$ (周期函数)用傅里叶级数展开可得
    - - $C_n = \frac{1}{T_s}\int_{-\frac{T_s}{2}}^{\frac{T_s}{2}}p(t)\cdot e^{-j\frac{2\pi}{T_s}nt}dt$
      - $C_n =\frac{1}{T_s}\int_{-\frac{T_s}{2}}^{\frac{T_s}{2}}\delta(t)\cdot e^{-j\frac{2\pi}{T_s}nt}dt$
      - $C_n = \frac{1}{T_s}$
  - $p(t) = \frac{1}{T_s}\sum_{n = -\infty}^{\infty}e^{j\frac{2\pi}{T_s}nt}$
  - 所以对 $x(t)$ 用采样频率 $f_s$ 进行抽样后得到的抽样信号可表示为 $x_s(t) = p(t)\cdot x(t)$
  - $= [ \frac{1}{T_s}\sum_{n = -\infty}^{\infty}e^{j\frac{2\pi}{T_s}nt}] \cdot x(t)$
  - $= \frac{1}{T_s} \sum_{n = -\infty}^{\infty} [e^{j \frac{2\pi}{T_s} nt} \cdot x(t)]$
  - 设的傅里叶变换为，则根据傅里叶性质：
    - $e^{j\omega_0 t}\cdot x(t) \longleftrightarrow X(\omega-\omega_0)$
    - $X_s(\omega) = \frac{1}{T_s}\sum_{-\infty}^{\infty} X(\omega-\frac{2\pi}{T_s}n )$
    - $= \frac{1}{T_s}\sum_{-\infty}^{\infty}X(\omega-n\omega_s )$
    - $\omega_s = \frac{2\pi}{T_s} = 2\pi f_s$
  - 由此可见抽样信号的频谱为原信号频谱之频移后的多个叠加。
  - $X_s(\omega)$ 中包含 $X(\omega)$ 的频率成分，只要满足 $\omega_s \geq 2\omega_H$ 或者 $f_s \geq 2f_H$ ,只需一个带宽不小于 $\omega_H$ 的滤波器，就能滤出原来的信号 $x(t)$ 。
香农定理Shannon
- 香农定理给出了信道信息传送速率的上限（比特每秒）和信道信噪比及带宽的关系。
- 在有随机热噪声的信道上传输数据信号时，信道容量 $R_{max}$ 与信道带宽 $W$ ，信噪比 $\frac{S}{N}$ 关系为 $R_{max} = W\cdot log_2(1+\frac{S}{N})$
- 分贝数 $=10×log10（S/N）$ ,要先转化为 $S/N$ 的形式，再带入上述公式。
香农信道容量公式可以得出结论
- （1）提高信道的信噪比或增加信道的带宽都可以增加信道容量。
- （2）当信道中噪声功率N无穷趋于0时，信道容量C无穷趋于无限大，这就是说无干扰信道的信道容量可以为无穷大。
- （3）信道容量C一定时，带宽W与信噪比S/N之间可以互换，即减小带宽，同时提高信噪比，可以维持原来信道容量。
（4）信噪比一定时，增加带宽W可以增大信道容量。但噪声为高斯白噪声时（实际的通信系统背景噪声大多为高斯白噪），增加带宽同时会造成信噪比下降，因此无限增大带宽也只能对应有限信道容量。
眼图
- 示波器观察接收滤波器的输出信号，然后调整示波器的水平扫描周期，使其与接收符号周期同步。在传输二进制信号波形时，示波器显示的图形很像人的眼睛，故称之眼图
- 眼图张开的大小反映ISI的强弱
- 最佳抽样时刻：眼睛张开最大的时刻
- 对定时误差的灵敏度：斜边之斜率
- 信号幅度畸变范围；阴影区的垂直高度
- 过零点畸变；阴影区的水平高度
- 判决门限电平：中央横轴
- 噪声容限：抽样时刻眼睛张开高度之半。