抽代中的一些基本概念整理--仅供本人复习使用

代数的一些基础

预备知识

映射

任意两个集合 $A,B$ ，映射 $f:A\rightarrow B$ 指的是一种对应关系，是的 $\forall a\in A$ ，都有确定的 $b=f(a)\in B$ 与之对应。

若一个映射使得不相同的元素映射后的像也不相同，则这个映射 $f$ 是单射（injective）。

若一个映射的陪域 $B$ 等于值域 $R(A)$ ，则这个映射 $f$ 是满射（surjective），满射也可以表达为对于陪域中的任何一个元素，都在定义域中存在映射下的原像。

若映射既是单射又是满射，则该映射为双射或一一映射（bijective）。

自身到自身的映射 $f:A\rightarrow A$ ，称为A上的一个变换(transformation)，如果该映射是双射，且集合A为有限集，则称映射 $f$ 为集合 $A$ 上的一个置换(permutation)。

关系与划分

等价关系：集合 $S$ 上的一个二元运算 $\sim$ ，满足：

自反性： $\forall a \in S, \ a\sim a$ ，
对称性： $\forall a, b \in S, \ a\sim b => b \sim a$ ，
传递性： $\forall a,b,c \in S, \ a \sim b, b \sim c => a \sim c$ 。

设 $\sim$ 是集合 $S$ 上的一个等价关系， $a\in S$ ，定义a的等价类为 $\overline{a}=[a]=\{b\in S|b\sim a\}$ ，称 $a$ 为等价类 $\overline{a}$ 的代表元。

显然，集合 $S$ 对于某一等价关系 $\sim$ 得到的所有等价类都是该集合的子集，且这些子集两两不相交，并且这些子集的并集就是 $S$ ，这样的分类称为集合 $S$ 的一个划分(partition)，在每个等价类中各取一个代表元，组成的集合称为代表元系。因此有 $S=\bigcup_{a\in R} [a]$ ，其中 $R$ 是代表元系。例如，可以根据模3的结果将整数集合分为3类：可以被3整除的数、模3余1的数、模3余2的数，其代表元分别为0、1、2。由于等价关系，代表元的选取不是唯一的，上述代表元写成3、10、101也可以。

定义 $S/\sim = \{ \overline{a} | a\in R \}$ ，为S对 $\sim$ 的商集合；

定义映射 $\pi: S \to S/ \sim \ ,\ \ a \mapsto [a]$ 为S到 $S/ \sim$ 的自然映射；

群Group

群定义：非空集合 $G$ 中有一个二元运算 $\cdot$ ，如果满足：

G对运算 $\cdot$ 封闭： $\forall a, b \in G$ ，有 $a \cdot b \in G$ ；
结合律： $\forall a, b, c \in G$ ，有 $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ ；
存在单位 $e$ ， $e \cdot a = a \cdot e = a$ ，对 $\forall a \in G$ 成立；
存在逆元，即 $\forall a \in R, \exist a^{-1}$ ，有 $a\cdot a^{-1}=a^{-1} \cdot a = e$ 。

则称 $(G; \cdot )$ 为一个群。

交换群abelian group： $\forall a, b \in G$ ，有 $a\cdot b = b \cdot a$

对称群、变换群、置换群

设 $M$ 是一个非空集合， $S(M)$ 是 $M$ 的所有一一变换构成的集合。规定该集合上面的二元运算为变换的合成，即 $\forall m\in M$ 和 $f,g \in S(M)$ ，定义 $(gf)(m)=g(f(m))$ ，可以验证在这样的定义下， $S(M)$ 构成一个群。群的单位元是 $M$ 上的恒等变换 $1_M$ ，逆元是变换的逆变换。 $S(M)$ 称为 $M$ 的对称群(symmetric group)。将 $S(M)$ 的子群统称为变换群（transformation group）。
若 $\Omega=\{1,2,\cdots,n\}$ 中有n个元素，则 $S(\Omega)$ 称为n次对称群，记作 $S_n$ 。其中有 $n!$ 个元素，其元素称为置换，其子群统称为置换群（permutation group）。

可以把n次对称群表示为：

$S_n=\{\sigma=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & \cdots & n \\ i_1 & i_2 & \cdots & i_n \end{array} \right)|(i_1,i_2,\cdots,i_n)是1到n的一个排列\} \\$

其中 $\sigma$ 表一个置换，是n元有限集 $\Omega=\{1,2,\cdots,n\}$ 上的一个双射变换，使得 $1\mapsto i_1, \cdots, n\mapsto i_n$ 。

轮换和对换：

设置换 $\sigma \in S_n$ ， $i_1,i_2,\cdots,i_t \in \{1,2,\cdots,n\}$ ，如果 $\sigma(i_1)=i_2, \sigma(i_2)=i_3, \sigma(i_{t-1})=i_t,\sigma(i_t)=i_1$ ，且 $i_1,i_2,\cdots,i_t$ 之外的元素都保持不变，则称 $\sigma$ 是 $i_1,i_2,\cdots,i_t$ 的轮换，也称t-轮换。长度为2的轮换称为对换（transposition），即两个元素交换。长度为1的轮换是恒等变换，可以记作 $(1)$ 。

性质：两个不相交的轮换可交换。任何一个轮换都可以分解为若干个对换的乘积。从而任何一个置换都可以分解为若干个对换的乘积。

如果一个置换等于偶数个对换的乘积，则称之为偶置换；否则称为奇置换。

取 $S_n$ 中所有偶置换构成的集合，按照置换的复合运算构成一个群，称为n次交错群（alternating group），记作 $A_n$ ，其阶数为 $|A_n|=\frac{n!}{2}$ 。

循环群：

若一个群 $G$ 中存在一个元素 $a$ ，使得对于 $\forall g\in G$ ，都存在 $n\in\mathbb{Z}$ ，使得 $g=a^n$ ，则称 $G$ 为由 $a$ 生成的循环群，记作 $G=\left<a \right>$ ，元素 $a$ 称为该群的生成元generator。简单来说循环群就是由一个元素生成的群。

性质：循环群都是交换群。

循环群结构定理：设 $G=\left<a\right>$ 是循环群，

若G是无限循环群，则 $G \cong (\mathbb{Z},+)$ ，G的生成元只有 $a$ 和 $a^{-1}$ ；
若G是n阶有限循环群，则 $G\cong (\mathbb{Z}_n,+)$ ，G有 $\varphi(n)$ 个生成元 $a^{i}$ ，其中 $1\leq i\leq n$ ，且 $i$ 与 $n$ 互素， $\varphi$ 为欧拉函数，指的是与 $n$ 互素且不超过 $n$ 的正整数的个数。

可视化例子：

S3结构.png

子群

H是G的子群记号： $H < G$

H是群G的子群判断： $\forall a, b \in H, a^{-1}b \in H$ 成立。

陪集（考虑左陪集）

设 $G$ 是群， $H<G$ ， $a \in G$ ，

定义集合 $aH=\{ah|h\in H\} \\$ 为以a为代表元在H的一个左陪集，所有；
若在群 $G$ 上定义关系 $\sim$ 为： $a\sim b\Leftrightarrow a^{-1}b \in H$ ，则关系 $\sim$ 为等价关系，且 $a$ 所在的等价类 $\overline{a}$ 与a在H上的左陪集相等，ie.等价类=陪集 $\overline{a} = aH$ ，因此可以将整个群G表示成一系列左陪集的无交之并，即 $G=\bigcup_{a\in L}aH \\$ ，其中 $L$ 是左陪集的一个代表元系，又被称为左截线集（left transversal）。左陪集组成的集合记为 $G/ \sim \ = G/H=\{aH|a \in L\}$ ，称为左商集。

定理：

$|aH|=|H|$ ，即左陪集 $aH$ 中元素的个数与子群 $H$ 中的元素个数相同。可以通过构建一个 $H$ 到 $aH$ 的双射得证。但这里并不代表集合 $aH$ 也是一个子群。
若 $\forall a, b\in G, a\neq b$ 则 $aH \cap bH=\empty$ ，也可以说同一个元素不可能同时属于两个陪集。
若 $aH=bH$ ， $\iff$ $a^{-1}b \in H$ 。

拉格朗日定理：设 $G$ 是群， $H < G$ ，则 $|G| = |G/H|\cdot |H|$ 。由 $G=\bigcup_{a\in L}aH$ ，有 $|G|=\sum_{a\in L}{|aH|} =\sum_{a\in L}{|H|} = |L||H|$ 得证， $L$ 为等价关系 $\sim$ 下的代表元个数，也即商集个数。

由拉格朗日定理可知：素数阶群必定是循环群。

推论：若 $K<H，H<G$ ，则 $[G:K]=[G:H][H:K]$

正规子群：

H是群G的正规子群： $H < G, \forall h\in H, g\in G, \ \ g\cdot h \cdot g^{-1} \in H$ 成立，记作 $H\lhd G$ 。

$\iff$ 左右陪集相等： $gH=Hg$

$\iff$ $\forall g_1,g_2 \in G$ ，有 $g_1H \cdot g_2H = g_1 g_2 H$ ；

显然，abel群的子群都是正规子群。

商群：

定义了正规子群后，我们知道正规子群的左陪集与右陪集是没有区别的。我们还可以在陪集之间定义运算：如果一个子群的两个左陪集分别是 $aH$ 和 $bH$ ，规定乘法运算为： $(aH)(bH)=(ab)H$ 。那么该定义是well-defined吗？即如果 $aH=a'H$ 和 $bH=b'H$ ，是否有 $(ab)H=(a'b')H$ 成立。可以验证，当且仅当 $H$ 是正规子群时，该乘法运算是良定义的，这也是引入正规自群的原因。

设 $G$ 是群， $N\lhd G$ ，则定义商群为 $G/N:=\{aN|a\in G\}$ ，为 $N$ 的全部左陪集，并规定乘法是 $(aN)(bN)=(ab)N$ ，根据Lagrange定理，该商群的阶是 $|G/N|=\frac{|G|}{|N|}=[G:N]$ 。

自然同态：设群 $G$ 中， $N \lhd G$ ，映射 $\pi:G\rightarrow G/N$ ，满足 $\pi(g)=gN$ ，则 $\pi$ 是一个满同态，称为自然同态(natural homomorphism)，它的核为 $\operatorname{ker}(\pi)=N$ 。

看上去这个同态是很自然的，可以看作把群中元素按照不同的陪集进行分类的过程，同一个陪集中的元素映射到相同的像。

群同态与同构：

若 $(G, \cdot)$ 和 $(H, \ast)$ 为两个群，存在一个映射 $\varphi:G\rightarrow H:g\mapsto \varphi(g)$ ，使得对于 $\forall g_1,g_2 \in G$ ，有 $\varphi(g_1 \cdot g_2)=\varphi(g_1) \ast \varphi(g_2)$ ，则称 $\varphi$ 是 $G$ 到 $H$ 的一个同态(homomorphism)。

如果同态 $\varphi$ 是一个双射，则称 $\varphi$ 是 $G$ 到 $H$ 的一个同构(isomorphism)。此时称两个群是同构的，记为 $G\cong H$ 。

如果这个映射 $\varphi: G \rightarrow G$ 是同构映射，即 $G \cong G$ ，则称 $\varphi$ 是一个 $G$ 到 $G$ 的自同构（automorphism）。

kernel：集合 $\operatorname{ker}(\varphi)=\{g\in G|\varphi(g)=e_H\}$ 称为同态 $\varphi$ 的核， $e_H$ 表示群 $H$ 中的单位。

群同态基本性质：

设 $\varphi:G\rightarrow H$ 是一个群同态，则对于 $\forall g\in G$ ，有

$\varphi(e_G)=e_H$
显然有 $\varphi(g^n)=(\varphi(g))^n, n\in \mathbb{Z}$
$\operatorname{ker}(\varphi) \lhd G$
$\varphi$ 是单态射 $\iff$ $\operatorname{ker}(\varphi)=\{e_G \}$
$\varphi$ 保持正规性、循环、交换。ie： $L \lhd G$ 则 $\varphi(L) \lhd \varphi(G)$ ； $L$ 是循环群，则 $\varphi(L)$ 也是循环群。

群同构基本性质：

设两个群 $G\cong H$ ，则 $|G|=|H|$ 。可以将同构的群看作相同的群。

群同态基本定理：

设 $\varphi:G_1 \rightarrow G_2$ 是群同态，则 $\operatorname{ker}(\varphi)\lhd G_1$ ，且有群同构： $\varphi(G_1)\cong G_1/\operatorname{ker}(\varphi)$ ，其中 $\varphi(a)\mapsto a\operatorname{ker}(\varphi)$ 。特别的， $G$ 的任一同态像 $\varphi(G)$ 同构于 $G$ 的一个商群。

记 $K=\operatorname{ker}(\varphi)$ ，构造一个映射 $\pi:G_1 /K\rightarrow \varphi(G_1)$ ，使得 $\pi(aK)=\varphi(a)$ ，其中 $\varphi(G_1) < G_2$ ，然后证明它是群同构映射即可。

可视化例子：

S4同构.png

Galois group：

设 $K$ 为 $F$ 的一个扩张域，记为 $K/F$ ，域 $K$ 上所有F-同构映射组成的群，称为galois群，即 $K$ 上所有自同构组成的群，记为 $Gal(K/F)$ 。

环与域

环Ring

非空集合 $R$ 中有两个二元运算，加法＋和乘法*，如果满足：

$(R, +)$ 是abel群；
$(R, \cdot)$ 是半群，即乘法 $\cdot$ 仅满足封闭和结合律；
加法和乘法满足分配率，即 $\forall a, b, c\in R$ ，有 $a\cdot(b+c)=a \cdot b + a \cdot c$ 。

则称 $(R;+,\cdot )$ 为一个环Ring。

S为R的子环的充要条件：R的乘法单位在S中，S对于减法封闭，S对于乘法封闭。

理想Ideals

$(R;+,\cdot )$ 为环，非空子集 $\mathcal{I}$ 满足

$\mathcal{I}$ 是abel群 $R$ 的子群，ie. $\mathcal{I}$ 对于减法封闭： $a, b \in \mathcal{I} => a-b \in \mathcal{I}$
$\mathcal{I}$ 中对环 $R$ 中的任意元素乘法封闭，ie. $a\in\mathcal{I}, r\in R => ar \in \mathcal{I} , ra \in \mathcal{I}$