1、在下图所示的平衡二叉树中插入关键字48后得到一棵新平衡二叉树，在新平衡二叉树中，关键字37所在结点的左、右子结点中保存的关键字分别是（）。
- A：13,48
- B：24,48
- C：24,53
- D：24,90
解析
插入48后，该二叉树根结点的平衡因子由-1变为-2，失去平衡，需要进行两次旋转（先右旋后左旋）操作。
答案：C
2、若平衡二叉树的高度为6，且所有非叶子结点的平衡因子均为1，则该平衡二叉树的结点总数为（）。
- A：12
- B：20
- C：32
- D：33
解析
所有非叶结点的平衡因子均为1，即平衡二叉树满足平衡的最少结点情况，如下图所示。对于高度为n、左右子树的高度分别为n-1和n-2、所有非叶结点的平衡因子均为1的平衡二叉树，计算总结点数的公式为=
+
+1，
=1，
=2,
=2+1+1=4，可推出
=20。
画图法：先画出
答案：B
3、若将关键字1,2,3,4,5,6,7依次插入初始为空的平衡二叉树T，则T中平衡因子为0的分支结点的个数是（）。
- A：0
- B：1
- C：2
- D：3
解析
利用7个关键字构建平衡二叉树T，平衡因子为0的分支结点个数为3，构建的平衡二叉树及构造与调整过程如下图所示。
答案：D
4、现有一棵无重复关键字的平衡二叉树（AVL），对其进行中序遍历可得到一个降序序列。下列关于该平衡二叉树的叙述中，正确的是（）。
- A：根结点的度一定为2
- B：树中最小元素一定是叶结点
- C：最后插入的元素一定是叶结点
- D：树中最大元素一定是无左子树
解析
只有两个结点的平衡二叉树的根结点的度为1，A错误。
中序遍历后可以得到一个降序序列，树中最小元素一定无左子树（可能有右子树），因此不一定是叶结点，B错误。
最后插入的结点可能会导致平衡调整，而不一定是叶结点，C错误。
答案：D
5、在任意一棵非空平衡二叉树（AVL树）
中，删除某结点v之后形成平衡二叉树
，再将v插入形成平衡二叉树
。下列关于与的叙述中，正确的是（）。
Ⅰ、若v是的叶结点，则
与
可能不相同
Ⅱ、若v不是的叶结点，则
与
一定不相同
Ⅲ、若v不是的叶结点，则
与
一定相同
- A：仅Ⅰ
- B：仅Ⅱ
- C：仅Ⅰ、Ⅱ
- D：仅Ⅰ、Ⅲ
解析
在非空平衡二叉树中插入结点，在失去平衡调整前，一定插入在叶结点的位置。
若删除的是的叶结点，则删除后平衡二叉树可能不会失去平衡，即不会发生调整，再插入此结点得到的二叉平衡树
与
相同；若删除后平衡二叉树失去平衡而发生调整，再插入结点得到的二叉平衡树
与
可能不同。Ⅰ正确。
对于比较绝对的说法Ⅱ和Ⅲ，通常只需举出反例即可。
例如，如下图所示，删除结点0，平衡二叉树失衡调整，再插入结点0后，平衡二叉树和以前不同。
若删除的是
若删除的是的非叶结点，且删除和插入操作后导致了平衡二叉树的调整，则该结点有可能通过旋转后继续变成非叶结点，
与
相同。例如，如下图所示，删除结点2，用右孩子结点3填补，再插入结点2，平衡二叉树失衡调整，调整后的平衡二叉树和以前相同。
答案：A
6、下图所示是一棵（）。
- A：4阶B树
- B：4阶B+树
- C：3阶B树
- D：3阶B+树
解析
关键字数量比子树数量少1，所以不是B+树，而是B树。又因为m阶B树结点关键字数最多为m-1，有一个结点关键字个数为3，所以不可能为3阶。
答案：A
7、下列关于m阶B树的说法中，错误的是（）。
- A：根结点至多有m棵子树
- B：所有叶结点都在同一层次上
- C：非叶结点至少有m/2（m为偶数）或（m+1）/2（m为奇数）棵子树
- D：根结点中的数据是有序的
解析
除根结点外的所有非终端结点至少有m/2
棵子树。对于根结点，最多有m棵子树，若其不是叶结点，则至少有2棵子树。
答案：C
8、以下关于m阶B树的说法中，正确的是（）。
Ⅰ、每个结点至少有两棵非空子树
Ⅱ、树中每个结点至多有m-1个关键字
Ⅲ、所有叶结点在同一层
Ⅳ、插入一个元素引起B树结点分裂后，树长高一层
- A：Ⅰ、Ⅱ
- B：Ⅱ、Ⅲ
- C：Ⅲ、Ⅳ
- D：Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ
解析
每个非根的内部结点必须至少有m/2
棵子树，而根结点至少要有两棵子树，所以Ⅰ不正确。Ⅱ、Ⅲ显然正确。对于Ⅳ，插入一个元素引起B树结点分裂后，只要从根结点到该元素插入位置的路径上至少有一个结点未满，B树就不会长高，如图1所示；只有当结点的分裂传到根结点，并使根结点也分裂时，才会导致树高增1，如图2所示，因此Ⅳ错误。
答案：B
9、具有n个关键字的m阶B树，应有（）个叶结点。
- A：n+1
- B：n-1
- C：mn
- D：nm/2
解析
B树的叶结点对应查找失败的情况，对有n个关键字的查找集合进行查找，失败可能性有n+1种。
答案：A
10、高度为5的3阶B树至少有（）个结点，至多有（）个结点。
- A：32
- B：31
- C：120
- D：121
解析
由m阶B树的性质可知，根结点至少有2棵子树；根结点外的所有非终端结点至少有m/2
棵子树，结点数最少时，3阶B树形状至少类似于一棵满二叉树，即高度为5的B树至少有
-1=31个结点。
由于每个结点最多有m棵子树，所以当结点数最多时，3阶B树形状类似于满三叉树，结点数为(-1)/2=121。
