知识小结：线性时不变电路的相量分析

一阶动态系统，在一维空间上运动
- 将一阶系统视为二阶系统的极致情况
- 平衡点就是直流工作点：电容开路（ $i_{C}$ =0 ）或电感短路（ $v_{L}$ =0）情况
- 直流工作点位置的微分电阻为负阻，则为不稳定平衡点
- 直流工作点位置的微分电阻为正阻，这为稳定平衡点： $t\rightarrow\pm\infin$ 进入该状态
二阶动态系统，二维平面上的相轨迹曲线
相轨迹如果收敛于某极限环，则说明出现周期振荡波形：极限环是圆形，则正弦波振荡（振荡器）；极限环上有状态点的跳变，则为张弛振荡
相轨迹如果收敛于某点，此点则为稳定平衡点，系统在该点附近是稳定的（耗散系统：正阻耗能）（放大器直流工作点位置）
相轨迹如果从某点发散出去，此点则为不稳定平衡点，系统在该点附近是不稳定的（发散系统：负阻释能）（振荡器直流工作点位置）
三阶动态系统，三维空间相轨迹曲线
更高阶动态系统，降阶考察
- 4阶，x1 x2 x3 x4 ，考察x1 x2 x3 ，x2 x3 x4 ，x3 x4 x1 ，x4 x1 x2
- 高阶非线性动态系统可能形成混沌，波形看似周期振荡，却不可预测（对初值和噪声极度敏感，不可重复），相轨迹不收敛，不发散，在状态空间的有限空间内混沌运动

正弦波

$s(t)=x(t)+jy(t)=A_{p}cos(\omega t+\varphi_{0})+jA_{p}sin(\omega t+\varphi_{0})\\=A_{p}e^{j(\omega t+\varphi_{0})}=A_{p}\ang \varphi_{A}=\dot{A}(向量表述）=\dot{A}e^{j\omega t}(复数表述)$
微分运算

$\frac{\mathrm{d}s(t)}{\mathrm{d}t}=j\omega A_{p}e^{j(\omega t+\varphi_{0})}=\omega A_{p}e^{j(\omega t+\varphi_{0}+\frac{\pi}{2})}$
积分运算

$\int_{-\infin }^t s(t)\mathrm{d}t=\frac{A_{p}e^{j(\omega t+\varphi_{0})}}{j\omega}=\frac{A_{p}}{\omega}e^{j(\omega t+\varphi_{0}=\frac{\pi}{2})}$
相量表述法本质上是一种频域分析方法,这里的幅度和相位恰好是正弦波傅立叶变换对应频点的幅度和相位
例： $(1+j\omega RC)\dot{V_{C}}=\dot{V_{S}}\Leftrightarrow [\sqrt{1+(\omega\tau)^2}\ang arctan\omega\tau]\dot{V_{C}}=\dot{V_{S}}$

电容电压滞后电容电流 $90^o$ 相位，电感电压超前电感电流 $90^o$ 相位
导纳 $Y=\frac{\dot{I}}{\dot{V}}=G+jB=G+j\omega C=G-\frac j{\omega L}$
阻抗 $Z=\frac{V_p}{I_p}\ang (\varphi_V-\varphi_I)=R+jX=R-\frac j{\omega C}=R+j\omega L$

瞬时功率 $p(t)=\frac 1 2V_pI_p(cos(\varphi_V-\varphi_I)+cos(\varphi_V+\varphi_I+2\omega t))$
平均功率(实功，有功功率，W)
- 只有阻抗的电阻和导纳的电导消耗功率， $P=\frac 1 2 I_p^2R=\frac 1 2 V_p^2G$
视在功率（VA）：电压有效值与电流有效值之积 $S=\frac 1 2V_pI_p$
功率因数（power factor） $pf=cos(\varphi_V-\varphi_I)$ (功率因数角 $\varphi_V-\varphi_I$ )
复功率 $\hat S=Se^{j(\varphi_V-\varphi_I)}=P+jQ$
虚功（var） $Q=Ssin(\varphi_V-\varphi_I)$
负载的功率： $P=I_{rms}^2R\\Q=I_{rms}^2X\\S=I_{rms}^2|Z|$
电阻消耗的功率记为实功（复功率的实部），电容、电感吸收再释放最终为源回收的功率用虚功表述（复功率的虚部）

以 $s=j\omega$ 为自变量整理传递函数 $H(s)$ 并因式分解，随着频率上升（每10倍频程）：
- 分母根，是极点，碰到极点-20，在左滞后 $90^o$
- 分子根，是零点，碰到零点+20，左超右滞 $90^o$
如出现右半平面极点，系统不稳定会趋于无穷（非线性饱和）或自激振荡，此类不稳定系统无传函，亦无伯特图
0处相移
- 0不是极点/零点时， $\varphi(0)$ 视系数为0或 $180^o$
- 0处多一个极点滞后 $90^o$ ，多一个零点超前 $90^o$
- 更好的理解： $\omega\rightarrow 0$ 时， $(j\omega+\omega_n)$ 项相位为0或 $180^o$ , $j\omega$ 在分子/分母造成 $\pm 90^o$ 的相差