高等数学：不定积分题选(1)

1.一曲线通过点 $(e^2,3)$ ,且在任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数,求该曲线的方程

解：

$设曲线方程为y=f(x),则$

$y'=f'(x)={1\over x}$

$\therefore y=\int {1\over x}dx=ln|x|+C$

$又曲线过点(e^2,3),\therefore lne^2+C=3$

$\therefore C=1,曲线方程为y=ln|x|+C$

2. $\int tan\sqrt{1+x^2}\cdot{xdx\over \sqrt{1+x^2}}$

解：

$原式={1\over 2}\int tan\sqrt{1+x^2}(1+x^2)^{-{1\over 2}}d(1+x^2)$

$=\int tan\sqrt{1+x^2}d\sqrt{1+x^2}$

$=-ln|cos\sqrt{1+x^2}|+C$

3. $\int {arctan\sqrt{x}\over \sqrt{x}(1+x)}dx$

解：

$原式=2\int {arctan\sqrt{x}\over 1+(\sqrt{x})^2}d\sqrt{x}$

$=2\int arctan\sqrt{x}darctan\sqrt{x}$

$=(arctan\sqrt{x})^2+C$

4. $\int {dx\over sinxcosx}$

解：

$原式=\int {sec^2x\over tanx}dx$

$=\int {dtanx\over tanx}$

$=\int ln|tanx|+C$

5. $\int cos^3xdx$

解：

$原式=\int (1-sin^2x)dsinx$

$=sinx-{1\over 3}sin^3x+C$

6. $\int cos^2(\omega t+\varphi)dt$

解：

$原式=\int {1+cos2(\omega t+\varphi)\over 2}dt$

$=\int {dt\over t}+{1\over 4\omega}\int cos2(\omega t+\varphi)d[2(\omega t+\varphi)]$

$={1\over 2}t+{1\over 4\omega}sin2(\omega t+\varphi)+C$

7. $\int sin2xcos3xdx$

解：

$原式=\int {1\over 2}(sin5x-sinx)dx$

$={1\over 2}cosx-{1\over 10}cos5x+C$

8. $\int cosxcos{x\over 2}dx$

解：

$原式=\int {1\over 2}(cos{3\over 2}x+cos{1\over 2}x)dx$

$={1\over 3}\int cos{3\over 2}xd{3\over 2}x+\int cos{1\over 2}xd{1\over 2}x$

$={1\over 3}sin{3\over 2}x+sin{1\over 2}x+C$

9. $\int sin5xsin7xdx$

解：

$原式=\int -{1\over 2}(cos12x-cos2x)dx$

$=-{1\over 2}\int cos12xdx+{1\over 2}\int cos2xdx$

$={1\over 4}sin2x-{1\over 24}sin12x+C$

10. $\int tan^3xsecxdx$

解：

$原式=\int tan^2xdsecx$

$=\int (sec^2x-1)dsecx$

$={1\over 3}sec^3x-secx+C$

11. $\int {dx\over e^x+e^{-x}}$

解：

$原式=\int {e^xdx\over e^{2x}+1}$

$=\int {de^x\over 1+(e^x)^2}$

$=arctane^x+C$

12. $\int {1-x\over \sqrt{9-4x^2}}dx$

解：

$原式={1\over 2}\int {d2x\over \sqrt{3^2-(2x)^2}}+{1\over 8}\int (9-4x^2)^{-{1\over 2}}d(9-4x^2)$

$={1\over 2}arcsin{2x\over 3}+{1\over 4}\sqrt{9-4x^2}+C$

13. $\int {dx\over 2x^2-1}$

解：

$原式={1\over 2}\int {dx\over x^2-({1\over \sqrt{2}})^2}$

$={1\over 2\sqrt{2}}\int ({1\over x-{1\over \sqrt{2}}}-{1\over x+{1\over \sqrt{2}}})dx$

$={1\over 2\sqrt{2}}ln|{x-{\sqrt{2}\over 2}\over {x+{\sqrt{2}\over 2}}}|+C$

14. $\int {dx\over (x+1)(x-2)}$

解：

$原式={1\over 3}\int({1\over x-2}-{1\over x+1})dx$

$={1\over 3}(ln|x-2|-ln|x+1|)+C$

$={1\over 3}ln|{x-2\over x+1}|+C$

15. $\int {x\over x^2-x-2}dx$

解：

$原式=\int {x\over (x-2)(x+1)}dx$

$={1\over 3}\int ({2\over x-2}+{1\over x+1})dx$

$={2\over 3}ln|x-2|+{1\over 3}ln|x+1|+C$

16. $\int {x^2dx\over \sqrt{a^2-x^2}}$

解：

$设x=asint,则t=arcsin{x\over a},dx=acostdt$

$原式=\int {a^2sin^2t\over acost}acostdt$

$=a^2\int {1-cos2t\over 2}dt$

$={a^2\over 2}t-{a^2\over 4}\int cos2td2t$

$={a^2\over 2}t-{a^2\over 4}sin2t+C$

$={a^2\over 2}t-{a^2\over 2}sintcost+C$

$={a^2\over 2}(arcsin{x\over a}-{x\over a^2}\sqrt{a^2-x^2})+C$

17. $\int {dx\over x\sqrt{x^2-1}}$

解：

$当x\gt 1时,$

$\int {dx\over x\sqrt{x^2-1}}=\int {dx\over x^2\sqrt{1-({1\over x})^2}}$

$=-\int {d({1\over x})\over \sqrt{1-({1\over x})^2}}$

$=arccos{1\over x}+C$

$当x\lt -1时,$

$\int {dx\over x\sqrt{x^2-1}}=-\int {dx\over x^2\sqrt{1-({1\over x})^2}}$

$=-\int {d({-{1\over x}})\over \sqrt{1-(-{1\over x})^2}}$

$=arccos{1\over -x}+C$

$综上所述,\int {dx\over x\sqrt{x^2-1}}=arccos{1\over |x|}+C$

法二：

$当x\gt 1时,$

$设x=sect,0\lt t\lt {\pi\over 2}$

$\int {dx\over x\sqrt{x^2-1}}=\int {dsect\over sect\sqrt{sec^2t-1}}$

$=\int {sect\cdot tantdt\over sect\cdot tant}$

$=\int dt=t+C=arccos{1\over x}+C$

$当x\lt -1时,$

$设x=-u,则u\gt 1,$

$\int {dx\over x\sqrt{x^2-1}}=\int {du\over u\sqrt{u^2-1}}$

$=arccos{1\over u}+C=arccos{1\over -x}+C$

$综上所述,\int {dx\over x\sqrt{x^2-1}}=arccos{1\over |x|}+C$

法三：

$设\sqrt{x^2-1}=t,则x^2=t^2+1,xdx=tdt$

$\int {dx\over x\sqrt{x^2-1}}=\int {xdx\over x^2\sqrt{x^2-1}}$

$=\int {tdt\over (t^2+1)t}=\int {dt\over 1+t^2}$

$=arctant+C=arctan\sqrt{x^2-1}+C$

18. $\int {dx\over \sqrt{(x^2+1)^3}}$

解：

$设x=tant,-{\pi\over 2}\lt t\lt {\pi\over 2}$

$原式=\int {sec^2tdt\over sec^3t}$

$=\int costdt$

$=sint+C$

$={x\over \sqrt{1+x^2}}+C$

19. $\int {\sqrt{x^2-9}\over x}dx$

解：

$x\gt 3时,设x=3sect,0\lt t\lt {\pi\over 2}$

$\int {\sqrt{x^2-9}\over x}dx=\int {\sqrt{9sec^2t-9}3sect\cdot tant\over 3sect}dt$

$=3\int tan^2tdt$

$=3\int (sec^2t-1)dt$

$=3tant-3t+C$

$=\sqrt{x^2-9}-3arccos{3\over x}+C$

20. $\int {dx\over 1+\sqrt{1-x^2}}$

解：

$设x=sint,则t=arcsinx$

$原式=\int {costdt\over 1+cost}$

$=\int {cost+1-1\over cost+1}dt$

$=\int (1-{1\over 2cos^2{t\over 2}})dt$

$=t-\int {sec^2{t\over 2}}d{t\over 2}$

$=t-tan{t\over 2}+C$

$=t-{sin{t\over 2}cos{t\over 2}\over cos^2{t\over 2}}+C$

$=t-{sint\over 1+cost}+C$

$=arcsinx-{x\over 1+\sqrt{1-x^2}}+C$

21. $\int {dx\over x+\sqrt{1-x^2}}$

解：

$设x=sint,则t=arcsinx$

$原式=\int {costdt\over sint+cost}$

$={1\over 2}\int {sint+cost-sint+cost\over sint+cost} dt$

$={1\over 2}\int (1-{cost-sint\over cost+sint})dt$

$={1\over 2}t+{1\over 2}\int {d(cost+sint)\over cost+sint}$

$={1\over 2}t+{1\over 2}ln|cost+sint|+C$

$={1\over 2}(arcsinx+ln|x+\sqrt{1-x^2})+C$

22. $\int {x-1\over x^2+2x+3}dx$

解：

$原式=\int {x+1-2\over (x+1)^2+2}dx$

$=\int ({x+1\over (x+1)^2+2}-{2\over (x+1)^2+2})dx$

$={1\over 2}\int {d[(x+1)^2+2]\over (x+1)^2+2}-\int {1\over ({x+1\over \sqrt{2}})^2+1}dx$

$={1\over 2}ln(x^2+2x+3)-\sqrt{2}\int {d({x+1\over \sqrt{2}})\over ({x+1\over \sqrt{2}})^2+1}$

$={1\over 2}ln(x^2+2x+3)-\sqrt{2}arctan{x+1\over \sqrt{2}}+C$

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