想要讨论的问题是：island 和 entanglement wedge reconstruction。

我们可以先回忆一下在AdS/CFT里entanglement wedge 或者更一般的bulk reconstruction的含义。我们可以考虑一个广义上的AdS/CFT的对偶：一个CFT的真空关联函数(定义在 或者 ) 等于一个高一维的有效渐进AdS的引力理论的路劲积分。
bulk 里面场 通过extrapolate relation与 boundary的算符联系起来

bulk reconstruction 是指：怎样在CFT里定义一些算符来描述bulk里面的local field，形式化的可以理解为寻找一个这样的等式

最简单的bulk local field是 AdS真空里面的free field，他的reconstruction也很直接。我们可以在AdS里面求解 的运动方程从而得到他的propagator，然后利用boundary-bulk propagator 可以写下

这里称为smear function。这个表达式关键是积分区域, 他是边界上所有与 spacelike separated的点几何。如果我们取一个x的Cauchy surface，就会在这个slice上所有边界的点都会包括在内。

从量子信息的角度来想的话，可以认为边界的operator是我们的物理qubit，bulk的场是我们想描述的逻辑bit。这样看来，AdS/CFT 看起来不是一个很有效的编码。

其实有一个更好的方案：subregion duality 或者说是subregion reconstruction。想法就是，可以做一个变化到Rindler 坐标，在这个坐标里bulk 的场方程还是well-defined从而还是可以求出一个对应的propagtor，而Rindler patch 相比之前的构造会小很多。比如同样选一个Cauchy surface，会发现所需要的积分区域只占边界的一部分，而且可以通过选取不同的Rindler patch来人为调控所需要的边界区域。

但是这似乎会产生一个矛盾：边界上是一个没有引力的场论，所以我们期待他的Hilbert space是可以factorized。在选好一个Cauchy slice 之后，每一个连续的区域都对应了一个由operator 产生的封闭的代数。来自不同区域对应的代数的算符应该是对易的。这样的话，当我们选完一个patch 里的代数来重构bulk的场之后，这个场就会与patch之外的代数对易。通过选取不同的Rindler patch可以使bulk 场与所有边界的代数对易，结论就是bulk 场只能是trivial 的单位算符。

或者更直接的去问，一个local 的bulk 算符，他的信息究竟是localize 在边界的那一个部分？

回答这个问题，也就是回答了AdS/CFT的编码性质。首先我们要注意，这个puzzle只是针对与真空附近的operator 的重构，我们假设bulk 里没有黑洞。这就引入了code subspace的概念。真空附近的激发只构成了整个Hilbert 空间的一个subspace，在这个subspace里的编码是一种自纠错编码形式：即物理qubit要比逻辑qubit 要多，从而当我们丢失的物理qubit不是很多的时候，还可以读取信息。

那么自然的问题是，code subpace之外的state 对应了什么？我们认为是对应了黑洞的微观态。当我们尝试在bulk里放入更多的信息超出code subspace的编码能力的时候，黑洞就会产生。

另一个自然的问题是，给定一段边界区域，这个区域对应的algebra可以构造的bulk field 的范围，也就是边界的subregion是怎样与bulk的subregion对应到。我们认为是对应了bulk里的entanglement wedge，可能一个直接的证据是RT formula。

另外一个微妙的地方是，如果重构bulk里面带有规范电荷的算符。只有规范不变的算符才是物理的，通常的做法是在这个算符上连接一个通往无穷远的wilson line。这样，我们才能严格意义地在一个subregion 里来重构这个算符。这个构造依赖entanglement wedge 的边界包涵一段asymptotic boundary。

下面我们考虑island的情况。这里我们广义的定义island 为 不包含asymptotic boundary的 entanglement wedge。或者说一个被他的compliment 包围的entanglement wedge。通过island formula的公式

我们可以合理的推测，Island是可以通过subregion来重构的。注意这里并不是AdS/CFT，我们是把AdS引力couple 一个无引力的bath，然后R是bath的一个subregion。这里我们再用一个假设就是，R的compliment 对应了 island 的compliment，即island compliment的state可以有R的compliment的重构。

假设我们在island 插入一个算符来产生一个激发，这个算符是在Island 里也就是在R里，所以他应该和R的compliment的算符也就是Island 的compliment的算符对易。但是island compliment的算符包括了AdS边界的能动量张量，还有Hamiltonian，根据引力个Gauss law，之前的插入算符应该与Hamiltonian是不对易的，因为这个能量的变化是可测的。这就产生了一个矛盾：在bath里看他们应该是对易的，但是引力的Gauss law 说no。注意这里考虑激发还是在code subspace 里面。

一个解决方案是，island 只能出现在massive gravity里面，在massive gravity里Gauss law不存在了，也就没有了这个问题，而massive gravity也似乎可以理解：当我们couple 引力到bath的时候，因为选取了透明的边界条件，能动量张量不再守恒，导致了能动量张量有了anomouly，导致了引力子获得了质量。