高斯单位制（其三）

这一节开始推导一下高斯单位制下，静电场和静磁场的相关公式。

静电场

静电场的出发点自然式麦克斯韦方程组关于电场的两个，因为是静电场，所以磁场变化项就为零了：
$\begin{aligned} \nabla \cdot \vec{D} & = 4\pi\rho_f \\ \nabla \times \vec{E} & = 0 \\ \vec{D} & = \epsilon\vec{E} \end{aligned}$
根据 $\nabla\times \vec{E} = 0$ ，静电场下可以定义电势
$\psi(\vec{r}_2) - \psi(\vec{r}_1) = -\int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2}\vec{E}\cdot d\vec{l}$
自然，很容易得到
$\vec{E} = -\nabla \psi$
通过点电荷电势，可以推出一般的电势公式
$\psi(\vec{r}) = \int\dfrac{\rho(\vec{r}')dV'}{|\vec{r}-\vec{r}'|}$
再根据 $\nabla\cdot\vec{D}=4\pi\rho_f,\vec{D}=\epsilon\vec{E}$ ，于是有静电场的泊松方程
$\nabla^2\psi = -\dfrac{4\pi}{\epsilon}\rho_f$

电偶极子

定义和SI制一样， $\vec{p} = q(\vec{r}_+-\vec{r}_-)$ 或者一般式
$\vec{p} = \int \rho \vec{r} dV$
远场的偶极子电势
$\psi = \dfrac{\vec{p}\cdot\vec{r}}{r^3}$
偶极子受力为，
$\vec{F} = -\nabla U = \nabla (\vec{p}\cdot \vec{E}_{\text{外}}) = \vec{p}\cdot\nabla\vec{E}_{\text{外}}$
受到的力矩为
$\vec{N} = \vec{p}\times\vec{E}$
这些都和SI制差不太多，至于电四极矩之类的，应该也很好推导。

静磁场

静磁场出发点也是麦克斯韦方程组
$\begin{aligned} \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \\ \nabla \times \vec{H} &= \dfrac{4\pi}{c} \vec{j}_f \\ \vec{B} &= \mu\vec{H} \end{aligned}$
不过，磁场还要引入一个磁矢势 $\vec{A}$ ，使得 $\vec{B} =\nabla\times\vec{A}$ . 一般来说，这里还是采取库伦规范条件 $\nabla\cdot\vec{A}$ ，于是有
$\nabla\times\vec{B} = \nabla\times(\nabla\times\vec{A}) = \nabla(\nabla\cdot\vec{A})-\nabla^2\vec{A} = -\nabla^2\vec{A}=\dfrac{4\pi}{c}\mu\vec{j}$
即关于磁矢势的泊松方程
$\nabla^2\vec{A} = -\dfrac{4\pi}{c}\mu\vec{j}$
一般的，磁矢势表达式为
$\vec{A} = \dfrac{\mu}{c}\int\dfrac{\vec{j}(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}dV'$

磁偶极子

高斯单位制下，电场公式似乎都比较熟悉，磁场公式则需要小心光速 $c$ . 所以这里仔细推导一下磁偶极子的定义，我们知道，电偶极子是电场的多级展开的第二项。自然，磁偶极子也是磁场的多级展开的一项。首先，根据
$\dfrac{1}{|\vec{r}-\vec{r}'|} = \dfrac{1}{r} + \dfrac{\vec{r}\cdot\vec{r}'}{r^3} + \cdots$
将磁矢势的一般表达式展开
$\vec{A} = \dfrac{\mu}{c}\dfrac{1}{r}\int_V\vec{j}(\vec{r}')dV' + \dfrac{\mu}{c}\dfrac{1}{r^3}\vec{r}\cdot\int_V \vec{r}'\vec{j}'dV' + \cdots$
上式的意义是，设有一个具有电流的导体，其尺度为 $V$ ，求其在很远的 $\vec{r}$ 处产生的磁矢势。而第一项积分体积内没有电流的流入或者流出，所以一定为零。第二项就是我们磁偶极子，首先证明一个式子
$\int_V (\vec{r}'\vec{j}+\vec{j}\vec{r}')d V' = 0$
这是因为
$\nabla'\cdot(\vec{j}\vec{r}'\vec{r}') = (\nabla'\cdot\vec{j})\vec{r}'\vec{r}' + \vec{j}\cdot(\nabla'\vec{r}')\vec{r}' + \vec{r}'\vec{j}\cdot(\nabla'\vec{r}') \\ = \vec{j}\vec{r}'+\vec{r}'\vec{j}$
体积分可以化为边界上的积分，而边界上的电流为零，所以积分为零。于是磁偶极子项可以写成
$\vec{A} = \dfrac{\mu}{c}\dfrac{1}{2r^3}\vec{r}\cdot\int_V(\vec{r}'\vec{j}-\vec{j}\vec{r}') dV' = -\dfrac{\mu}{c}\dfrac{1}{2r^3}\vec{r}\times\int_V(\vec{r}'\times\vec{j})dV'$
定义磁偶极子
$\vec{m} = \dfrac{1}{2c}\int_V\vec{r}'\times\vec{j}dV'$
于是
$\vec{A} = \mu\dfrac{\vec{m}\times\vec{r}}{r^3}$
就和电偶极子的公式比较像了。对于线圈，有 $\vec{m} = \dfrac{1}{2c}\int\vec{r}'\times\vec{j}dV'=\dfrac{I}{2c}\oint\vec{r}'\times d\vec{l}'$ ，对于任意的平面线圈，有 $\vec{S} = \dfrac{1}{2}\oint\vec{r}\times d\vec{l}$ ，所以，有
$\vec{m} = \dfrac{1}{c}I\vec{S}$
这样定义的磁偶极子，除了能够消除磁偶极子的磁矢势中的 $c$ ，还使得磁偶极子的在磁场的受力公式更加简洁。

来看看受力，高斯单位制中，洛伦兹力为 $\vec{F} = \dfrac{1}{c}\vec{v}\times\vec{B}$ ，一般式为
$\vec{F} = \dfrac{1}{c}\int_V\vec{j}(\vec{r})\times\vec{B}(\vec{r})dV$
于是，将磁场在原点展开 $\vec{B}(\vec{r}) = \vec{B}_0 + \vec{r}\cdot\nabla\vec{B}_0+\cdots$ ，前面已经提到，电流密度的体积分为零，所以展开式第一项积分为零，第二项是磁偶极子受力项
$\vec{F} = \dfrac{1}{c}\int_V\vec{j}\times(\vec{r}\cdot\nabla\vec{B}_0)dV = \dfrac{1}{c}(\int_V\vec{j}\vec{r}dV\cdot \nabla)\times\vec{B}_0$
前面已经知道 $\int\vec{j}\vec{r}dV = \int(\vec{j}\vec{r}-\vec{r}\vec{j})dV$ ，而 $(\vec{j}\vec{r}-\vec{r}\vec{j})\cdot \nabla = (\vec{r}\times\vec{j})\times \nabla$ ，所以
$\vec{F} = (\vec{m}\times\nabla)\times\vec{B}_0 = \nabla(\vec{m}\cdot\vec{B}_0)-\vec{m}(\nabla\cdot\vec{B}_0)$
后一项为零，所以磁偶极子受力公式为
$\vec{F} = \nabla(\vec{m}\cdot\vec{B})$
这个公式看上去和SI制是一致的，并且与电偶极子的受力公式也是一致的。磁偶极子受到的力矩请自行推导
$\vec{N} = \int_V\vec{r}\times (\dfrac{1}{c}\vec{j}\times\vec{B}_0)dV = \vec{m}\times\vec{B}$
因此，高斯单位制下，磁偶极矩的定义，别忘了分母上还有一个 $c$ .