运动学考题中的地标：2011年高考物理新课标全国卷题24

2011年新课标全国卷题24

24.（13分）甲乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变，在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍；在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半。求甲乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比。

v-t 图

【解法一】

以A、B分别代表甲和乙。

汽车甲在第一阶段的加速度可以记作 a_0

a_{_{A1}}=a_0,\quad a_{_{A2}}=2a_0

a_{_{B1}}=2a_0,\quad a_{_{A2}}=a_0

在第一阶段末的速度：
v_{_{A1}}=a_0 T,\quad v_{_{B1}}=2 a_0 T

在第二阶段末的速度：
v_{_{A2}}=a_0 T + 2 a_0 T = 3 a_0 T,
v_{_{B2}}=2 a_0 T + a_0 T = 3 a_0 T

在第一阶段的位移：

s_{_{A1}}=\dfrac{1}{2} v_{_{A1}} T = \dfrac{1}{2} a_0 T^2

s_{_{B1}}=\dfrac{1}{2} v_{_{B1}} T = \dfrac{1}{2} \cdot 2 a_0 T^2= a_0 T^2

在第二阶段的位移：

s_{_{A2}}=\dfrac{1}{2} (v_{_{A1}} + v_{_{A2}}) T = 2 a_0 T^2

s_{_{B2}}=\dfrac{1}{2} (v_{_{B1}} + v_{_{B2}}) T = \dfrac{5}{2} a_0 T^2

总位移：

s_{_A}= s_{_{A1}} + s_{_{A2}} = \dfrac{5}{2} a_0 T^2

s_{_B}= s_{_{B1}} + s_{_{B2}} = \dfrac{7}{2} a_0 T^2

∴ s_{_A}:s_{_B}=5:7

甲乙两车做直线运动，加速度方向、速度方向一直向前。所以，甲乙两车的路程比也等于 5:7

【解法二】

与解法一相同，以A、B分别代表甲和乙。

汽车甲在第一阶段的加速度可以记作 a_0

第一阶段是初速度为0的匀加速直线运动，其位移分别为：

s_{_{A1}}=\dfrac{1}{2} a_0 T^2

s_{_{B1}}=\dfrac{1}{2} \cdot (2 a_0) \cdot T^2= a_0 T^2

在第一阶段末，两车的速度分别为：

v_{_{A1}}=a_0 T

v_{_{B1}}=2 a_0 T

第一阶段末的速度即为第二阶段的初速度；所以在第二阶段的位移分别为：

s_{_{A2}}=v_{_{A1}} T + \dfrac{1}{2} \cdot (2a_0) T^2=2 a_0 T^2

s_{_{B2}}=v_{_{B1}} T + \dfrac{1}{2} \cdot a_0 T^2=\dfrac{5}{2} a_0 T^2

s_{_A}= s_{_{A1}} + s_{_{A2}} = \dfrac{5}{2} a_0 T^2

s_{_B}= s_{_{B1}} + s_{_{B2}} = \dfrac{7}{2} a_0 T^2

∴ s_{_A}:s_{_B}=5:7

【提炼与提高】

本题难度不高，但却用到了运动学的几个公式：

初速度为0的匀加速直线运动：

\boxed{v_t=a \cdot t}

\boxed{s_t=\dfrac{1}{2} a t^2}

\boxed{s_t=\dfrac{1}{2} \cdot v \cdot t}

初速度非0的匀加速直线运动：

\boxed{v_t=v_0 + at}

\boxed{s_t=v_0 t + \dfrac{1}{2} a t^2}

\boxed{s_t=\dfrac{1}{2}(v_0+v_t)t}

后面我们会发现：如果能用好这组公式，有一些难度较高的所谓“压轴题”也就能够解决。

俗话说：万丈高楼从地起。这个早期的高考题，能帮助我们熟悉匀速直线运动的主要公式，同时也体现了 v-t 图的用法，可以称为『地标性考题』。请务必牢记。

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