流体力学第五章

水波动力学的基本方程
理想水波运动属于不可压缩流体的无旋流动。
速度势方程： $\nabla^2\varphi=0$
$C-L$ 积分： $C(t)=\frac{\partial \varphi}{\partial t}+\frac{1}{2}|\nabla \varphi|^2+\frac{p}{\rho}+gz$
通常 $C(t)=\frac{p_a}{\rho}$
边值条件

固壁不可穿透条件

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静止固壁不可穿透条件

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水底壁面不可穿透条件

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水面方程 $z=\zeta (x,y,t)$
水面运动学条件（光滑流体面保持性）
$\frac{\partial \zeta}{\partial t}+u\frac{\partial \zeta}{\partial x}+v\frac{\partial \zeta}{\partial y}-w=0$
水面动力学条件（压强条件）
$p_a-p_s=\gamma (\frac{1}{R_x}+\frac{1}{R_y})$
忽略表面张力： $p_a=p_s$

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水面柯西拉格朗日积分：
$\frac{\partial \varphi}{\partial t}+\frac{1}{2}|\nabla \varphi|^2+gz=0$
域内柯西拉格朗日积分：
$\frac{\partial \varphi}{\partial t}+\frac{1}{2}|\nabla \varphi|^2+\frac{p-p_a}{\rho}+gz=0$

$sh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2},ch(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

流线
将 $u$ 和 $w$ 表达式代入流线方程 $\frac{dx}{u}=\frac{dz}{w}$ ，得到：
$sh[\alpha (h+z)]\cos(\alpha x-\omega t)=const$
迹线
将 $u$ 和 $w$ 表达式代入迹线方程 $u=\frac{dx}{dt},v=\frac{dy}{dt}$
对于小振幅水波运动，流体质点在原静止平衡位置附近振荡，即 $z=z_0,x=x_0$ ，
无限深水波流线和迹线
流体质点近似运动轨迹： $(x-x_0)^2+(z-z_0)^2=[A\exp (\alpha z_0)]^2$
在深水波中，流体质点近似运动轨迹为圆，圆半径随水深逐渐减小。