1.单服务台模型
单服务台等待制模型
是指：顾客的相机到达时间服从参数为
的负指数分布，服务台个数为1，服务时间
服从参数为
的负指数分布，系统空间无限，允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。
1.1.队长的分布
记)
为系统到达平衡状态后队长
的概率分布，则由(17)中关于指数分布的分析,并注意到
和
。记
并设
（否则队列将排至无限远），则：%5E%7Bn%7D%2C%20%5Cquad%20n%3D1%2C2%2C%20%5Ccdots)
所以：
其中%5E%7B-1%7D%3D%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B1-%5Crho%7D%5Cright)%5E%7B-1%7D%3D1-%5Crho)
因此%20%5Crho%5E%7Bn%7D%2C%20%5Cquad%20n%3D1%2C2%2C%20%5Ccdots)
上面两个公式废除了在平衡条件下系统中顾客数为
的概率。由上式可以看出，
是系统中至少有一个顾客的概率，也就是服务台处于忙的状态的概率，因此，因此也成为服务强度，它反映了系统繁忙的程度。此外，上述式子的推导前提是
即要求顾客的平均到达率小于系统的平均服务率，才能使系统达到统计平衡。
1.2.几个主要性能指标
已经得到概率分布，可以求得期望，期望即为平均队长：
%20%5Crho%5E%7Bn%7D%20%5C%5C%20%26%3D%5Cleft(%5Crho%2B2%20%5Crho%5E%7B2%7D%2B3%20%5Crho%5E%7B3%7D%2B%5Ccdots%5Cright)-%5Cleft(%5Crho%5E%7B2%7D%2B2%20%5Crho%5E%7B3%7D%2B3%20%5Crho%5E%7B4%7D%2B%5Ccdots%5Cright)%20%5C%5C%20%26%3D%5Crho%2B%5Crho%5E%7B2%7D%2B%5Crho%5E%7B3%7D%2B%5Ccdots%3D%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B1-%5Crho%7D%3D%5Cfrac%7B%5Clambda%7D%7B%5Cmu-%5Clambda%7D%20%5Cend%7Baligned%7D)
平均排队长是：
%20p_%7Bn%7D%3DL-%5Cleft(1-p_%7B0%7D%5Cright)%3DL-%5Crho%3D%5Cfrac%7B%5Clambda%5E%7B2%7D%7D%7B%5Cmu(%5Cmu-%5Clambda)%7D)
关于顾客在系统中的逗留时间
，可说明它服从参数为
的负指数分布，即%20t%7D%2C%20%5Cquad%20t%20%5Cgeq%200)
可直接得到平均逗留时间：
因此，顾客在系统中的逗留时间为等待时间
和接受服务时间之和，即：
故由：%3DE%5Cleft(T_%7Bq%7D%5Cright)%2BE(V)%3DW_%7Bq%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cmu%7D)
可得等待时间
为：%7D)
与平均逗留时间
具有关系：
同理，平均排队长
与平均等待时间具有关系
上面两个公式称为Littile公式，是排队论中一个非常重要的公式。
1.3.忙期和闲期
在平衡状态下，忙期
和闲期
一般为随机变量，求取它们的分布是比较麻烦的。因此，我们来求一下平均忙期
和平均闲期
。由于忙期和闲期出现的概率分别为和
，所以在一段时间内可以认为忙期和闲期的总长度之比为)
。又因为忙期和闲期是交替出现的，所以在充分长的时间里，它们出现的平均次数应是相同的。于是，忙期的平均长度和闲期的平均长度之比也应是，即
又因为在到达为 Poisson 流时，根据负指数分布的无记忆性和到达与服务相互独立的假设，容易证明从系统空闲时刻起到下一个顾客到达时刻止（即闲期）的时间间隔仍服从参数为 的负指数分布，且与到达时间间隔相互独立。因此，平均闲期应为
，这样，便求得平均忙期为：
可发现，平均逗留时间)
=平均忙期)
。
从直观上看，顾客在系统中逗留的时间越长，服务员连续繁忙的时间也就越长。
