Lambek-Moser定理

该定理由J·拉姆贝克(Lambek)与L·莫斯尔(Leo Moser)提出

我们将满足

        (i){an}∪{bn}=N+　

        　(ii){an}∩{bn}=∅

的两数列{an}和{bn}称为互补数列

对于互补数列，有如下的：

        Lambek—Moser定理

        设f(n) 是一个N+→N+ 的不减函数。定义f∗(n)=|{k|f(k)<n}|,其中|Z|表示集合Z中元素的个数。记F(N+)和G(N+)分别为函数F(n)=f(n)+n和G(n)=f∗(n)+n的值域。则F(N+) 与G(N+)是互补的.

证明:  没有学到…现在还不会证这种鬼东西... 以后再填坑（来自学生狗的无奈qwq……）

例1:

求证：在正整数序列中，删去所有完全平方数后，第n项等于n+[√n+1/2].其中[x]表示不超过x的最大整数.(第27届普特南数学竞赛）

（我不清楚标准答案是什么，但我自己瞎搞搞出来一个...）

证明：

        令F(n)=n+[√n+1/2]

        G(n)=n2=n+n(n−1)

则根据原命题，知:

        F(n)的值域F(N+) 与G(n)的值域G(N+) 互补.

考虑构造函数:

       F(n)=n+[√n+1/2]

       g(n)=n(n−1)

由Lambek-Moser定理,

原命题等价于求证:

        g(n)=n(n−1)=|{k|f(k)<n}|

        考虑maxk使得f(k)<n

        则[√k+12]<n

        　　√k</p><p>        <img class=

        得k<=n²−n

        所以|{k|f(k)<n}|=n(n−1)

证毕.

例2:

删去正整数数列1,2,3,⋅⋅⋅1,2,3,···中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第20032003项是（　）

(A) 20462046 (B) 20472047 (C) 20482048 (D) 20492049

（20032003，全国高中数学联赛）

解：

(I) 直接运用例11证明出的公式 令n=2003,便得到

        2003+[√2003+12]=2048

(II)直接暴力，由45²=2025,46²=2116,得

        第1981项为2026,第2069项为2115

所以第2003项为2048

（第一篇就写写数学吧qwq...）

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