2.20 线性转换 Linear transformations

https://www.youtube.com/watch?v=len2ttQGmyQ&list=PL65jGfVh1ilueHVVsuCxNXoxrLI3OZAPI&index=33

前言

上节讲到线性代数的基本知识，这节讲的是线性变换，啥是线性变换呢，在这节之前我也不知道，ok，那就开始听听

1. 线性变换

假设一个算符 $\hat T$ 作用在基矢 $\{| x_i \rangle \}$ 上得到如下公式：
$\hat T |x_1\rangle = T_{11} | x_1 \rangle + T_{21} | x_2 \rangle + T_{31} | x_3 \rangle + ...$
$\hat T |x_2\rangle = T_{12} | x_1 \rangle + T_{22} | x_2 \rangle + T_{32} | x_3 \rangle + ...$
$...$
仔细看这不就是个矩阵嘛：
$\hat T \sim \hat T_{ij}(basis) \sim \begin{pmatrix} T_{11} & T_{12} \cdots &T_{1n}\\ T_{21} & T_{22} \cdots & T_{2n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ T_{n1} & \cdots & T_{nn} \end{pmatrix}$

其中算符 $\hat T$ 的基矢参数可以用如下表示：

$T_{ij}=\langle x_i | \hat T | x_j \rangle$

你看看，这是不是有点像上一节中加粗的那句话：每个线性组合中，基矢前的系数等于该基矢与向量的内积，这里 $\hat T$ 的左右内积就得到了矩阵中的每一个参数。
此时算符 $\hat T$ 作用在基矢 $|\alpha \rangle$ 上可以用下面的矩阵表示：
$\hat T |\alpha \rangle = \begin{pmatrix} T_{11} & T_{12} \cdots &T_{1n}\\ T_{21} & T_{22} \cdots & T_{2n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ T_{n1} & \cdots & T_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix}= ···$

2. 组合线性转换方法

$(\hat A + \hat B)|\alpha \rangle = \hat A |\alpha \rangle + \hat B |\alpha \rangle$

$(\hat A \hat B)|\alpha \rangle = \hat A (\hat B |\alpha \rangle )$

矩阵的性质
- 转置
  $\tilde A_{ij} = A_{ji}$
- 对称
- 矩阵取负值，即对矩阵中每一个值取负值
- 共轭
- 厄米共轭:先转置再共轭
  - 如果 $A^+ = A$ ,就叫厄密矩阵
  - 如果 $A^+ = -A$ ，就叫反厄密矩阵
- 注意：之前的 $\langle \alpha | \beta \rangle$ 可以写成
  $\langle \alpha | \beta \rangle \sim \alpha^+ \beta$
  就按照下面的图来理解吧，本来 $|\alpha \rangle$ 是竖着的矩阵，经过转置再共轭就可以变成横着的，再变方向（右图）
  
  image.png

3. 更多的矩阵性质

互易子
$[A,B]=AB-BA$
转置变换，厄米变换
$(\tilde {AB}) = \tilde B \tilde A$

$(AB)^+ = B^+ A^+$
单位矩阵可以写成 $\delta_{ij}$ 函数
逆矩阵
$A^{-1} A = A A^{-1} = 1$
有逆矩阵的前提条件https://www.youtube.com/watch?v=len2ttQGmyQ&list=PL65jGfVh1ilueHVVsuCxNXoxrLI3OZAPI&index=33

前言