谢惠民数学分析习题课讲义参考答案001
谢惠民数学分析习题课讲义参考答案002
谢惠民数学分析习题课讲义参考答案003
谢惠民数学分析习题课讲义参考答案004
谢惠民数学分析习题课讲义参考答案13.1.2
谢惠民数学分析习题课讲义参考答案13.2.5

1.3.2练习题

关于Bernoulli不等式的推广：

证明：当 $-2 \leqslant h \leqslant-1$ 时 Bernoulli 不等式 $(1+h)^{n} \geqslant 1+n h$ 仍成立.

证明：当 $h \geqslant$ 时成立不等式 $(1+h)^{n} \geqslant \frac{n(n-1) h^{2}}{2}$ 并推广.

证明：若 $a_{i}>-1(i=1,2, \cdots, n)$ 且同号，则成立不等式 $\prod_{i=1}^{n}\left(1+a_{i}\right) \geqslant 1+\sum_{i=1}^{n} a_{i}$

证明：

$(1+h)^{n} \geqslant-|1+h|^{n} \geqslant-|1+h|=1+h \geqslant 1+n h$

$(1+h)^{n}=1+n h+\frac{1}{2} n(n-1) h^{2}+\cdots+h^{n} \geqslant \frac{n(n-1) h^{2}}{2}$ ，推广 $(1+h)^{n} \geqslant 1+n h+\frac{1}{2} n(n-1) h^{2}$

$n=1$ 时显然成立，假设 $n=k$ 时命题成立，则 $n=k+1$ 时
$\begin{aligned} \prod_{i=1}^{k+1}\left(1+a_{i}\right)&\geqslant\left(1+\sum_{i=1}^{k}a_{i}\right)\left(1+a_{k+1}\right)\\ &=1+\sum_{i=1}^{k+1} a_{i}+\sum_{i=1}^{k} a_{i} \cdot a_{k+1}\\ &\geqslant 1+\sum_{i=1}^{k+1} a_{i} \end{aligned}$

阶乘 $n!$ 在数学分析以及其他课程中经常出现，以下是几个有关的不等式，它们都可以从平均值不等式得到：

证明：当 $n>1$ 时成立 $n !<\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n}$

利用 $(n !)^{2}=(n \cdot 1)((n-1) \cdot 2) \cdots(1 \cdot n)$ 证明:当 $n>1$ 时成立 $n !<\left(\frac{n+2}{\sqrt{6}}\right)^{n}$

比较（1）和（2）中两个不等式的优劣，并说明原因

证明：对任意实数 $r$ 成立 $\left(\sum_{k=1}^{n} k^{r}\right)^{n} \geqslant n^{n}(n !)^{r}$

证明:

$n ! \leqslant\left(\frac{1+2+\cdots+n}{n}\right)^{n}$ ,无法取等号。

由 $\begin{aligned} (n !)^{2} &=(n \cdot 1)[(n-1) \cdot 2] \cdots(1 \cdot n) \\ &\leqslant\left[\frac{n \cdot 1+(n-1) \cdot 2+\cdots+1\cdot n}{n}\right]^{n} \\ &=\left[\frac{n(n+1)(n+2)}{6 n}\right]^{n}\\ &=\left[\frac{(n+1)(n+2)}{6}\right]^{n} \end{aligned}$
有 $n ! < \left(\frac{n+2}{\sqrt{6}} \right)^{n}$

答:(2)较优，当 $n$ 增大时，(2)的右边比(1)的右边更小

原不等式等价于 $\frac{1^{r}+2^{r} + \cdots+n^{r}}{n} \geqslant \sqrt[n]{1^{r} \cdot 2^{r} \cdots n^{r}}$ 由均值不等式显然成立

若 $a_{k}>0, k=1,2, \cdots, n,$ 则有 $\left(\prod_{k=1}^{n} a_{k}\right)^{\frac{1}{n}} \geqslant \frac{n}{\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{a_{k}}}$

解答:由 $\left(\prod_{k=1}^{n} a_{k}\right)^{\frac{1}{n}} \geqslant \frac{n}{\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{a_{k}}}$ 可得。

证明: 当 $a, b, c$ 为非负数时成立 $\sqrt[3]{a b c} \leqslant \sqrt{\frac{a b+b c+c a}{3}} \leqslant \frac{a+b+c}{3} \text { . }$

证明:由 $\sqrt{\frac{a b+b c+a c}{3}} \geqslant \sqrt{\sqrt[3]{a b \cdot b c \cdot a c}}=\sqrt[3]{a b c}$ 知左边不等式成立，又由 $\begin{array}{c} \sqrt{\frac{a b+b c+a c}{3}} \leqslant \frac{a+b+c}{3} \Leftrightarrow 3(a b+b c+a c) \leqslant(a+b+c)^{2} \\ \Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-a c-b c \geqslant 0 \end{array}$ 知右边不等式成立.

证明下述不等式

$|a-b| \geqslant|a|-|b| \text { 和 }|a-b| \geqslant|| a|-| b||$

$\left|a_{\mathrm{I}}\right|-\sum_{k=2}^{n}\left|a_{k}\right| \leqslant\left|\sum_{k=1}^{n} a_{k}\right| \leqslant \sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|$ ,又问:左边可否为 $\left| |a_{1}|-\sum_{k=2}^{n} | a_{k}| \right|$ ？

$\frac{|a+b|}{1+|a+b|} \leqslant \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|}$

$\left|(a+b)^{n}-a^{n}\right| \leqslant(|a|+|b|)^{n}-|a|^{n}$

证明:

由三角不等式 $|a+b| \leqslant|a|+|b|$ 有 $|a|=|a-b+b| \leqslant|a-b|+|b|$ ,移项立得。

右边可由三角不等式直接推得，左边 $\left|\sum_{k=1}^{n} a_{k}\right|=\left|a_{1}-\left(-\sum_{k=2}^{n} a_{k}\right)\right| \geqslant\left|a_{1}\right|-\sum_{k=2}^{n}\left|a_{k}\right|$ 左边加绝对值号后右边未必成立，反例： $a_{2 k-1}=1, a_{2 k}=-1$

当 $|a+b|=0$ 时显然成立,当 $|a+b| \neq 0$ 时
$\begin{aligned} \frac{|a+b|}{1+|a+b|} &= \frac{1}{1+\frac{1}{|a+b|}} \\ &\leqslant \frac{1}{1+\frac{1}{|a|+|b|}}\\ &= \frac{|a|+|b|}{1+|a|+|b|}\\ &= \frac{|a|}{1+|a|+|b|}+\frac{|b|}{1+|a|+|b|}\\ &\leqslant \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \left|\mathrm{C}_{n}^{1} a^{n-1} b+\cdots+C_{n}^{n-1} a b^{n-1}+b^{n}\right| & \leqslant\left|C_{n}^{1} a^{n-1} b\right|+\cdots+\left|C_{n}^{n-1} a b^{n-1}\right|+\left|b^{n}\right| \\ &=(|a|+|b|)^{n}-|a|^{n} \end{aligned}$

谢惠民数学分析习题课讲义参考答案001

1.3.2练习题

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