一场椭圆曲线的寻根问祖之旅

本文介绍密码学中常见的椭圆曲线以及他们之间的关系，介绍不同标准体系的命名规则，尝试描述椭圆曲线之间的家族演义关系。文章试图讲清椭圆曲线相关概念和功能，不涉及复杂的数学证明和推理，欢迎感兴趣的同学阅读。笔者主要参考Wikipedia和相关组织网站的信息进行整理，不排除出现纰漏的可能，欢迎专家批评指正。

一个可能你没关心过的问题

在《一个数字引发的探索——ECDSA解析》（加链接）中提到一个椭圆曲线secp256k1，它有一些特性，可以快速计算出recoveryID。

这个secp256k1为什么如此命名？

不怕各位笑话，我在弄清楚它之前，经常拼写错，写成sec256pk1，seck256p1等😅

咬文嚼字secp256k1

搞清楚secp256k1的命名含义其实很简单，搜索引擎可以快速为你定位到答案，它出自一个密码协议标准，每一个字母和数字都代表着特定含义，我们来逐一解析。

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（1）密码协议标准

第一部分是「sec」，sec是Standards for Efficient Cryptography 的简称，是SECG发布的一种密码学协议标准。

SECG发布的「SEC 1」和「SEC 2」两个关于椭圆曲线的协议标准，在「SEC 2」中有详细说明secp256k1以及其他曲线的参数定义。

除了「sec」，还有众多其他关于椭圆曲线的协议标准，从「SafeCurve」中可以看到有下列不同类型的标准。

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「SafeCurve」此处较久没有更新，有些标准已经更新了多次，例如NIST关于数字签名的标准 FIPS 186目前在用的是第四版，第五版也在起草中了，从「NIST」官网中可见。

NIST是美国的国家标准技术研究所（National Institute of Standards and Technology），因此，NIST的标准也是美国标准。

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「NIST FIPS 186-4」标准中定义了若干椭圆曲线标准，例如NIST P-256、NIST P-384等，其中开头NIST也代表密码协议标准的名字。后续描述都是围绕这两个标准来解析。

（2）有限域

第二部分是「p」，p表示该椭圆曲线是基于素数有限域Fp。有限域是离散数学中的概念，此处不做展开，简单来说，它是一个由有限数量元素组成的集合，元素之间可以进行加法和乘法计算，具备一些独特的属性。

密码学中使用椭圆曲线都是基于有限域的，除了素数有限域Fp之外，还有另一种特征为2的有限域F2m （因输入格式问题，全文2m应为2的m次方，下同），Fp的大小（元素个数）为p，F2m的大小为2m。

基于Fp的椭圆曲线为：

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基于F2m的椭圆曲线为：

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在「SEC 2」中还定义了sect163k1、sect163r1等曲线，其中，t表示的是该曲线基于F2m。在「NIST FIPS 186-4」中定了P-256、B-163等曲线，P-表示基于Fp，B-表示基于F2m。

（3）有限域大小

每个椭圆曲线E都有若干关键参数，包括阶为n的基点G和系数h等，其中，n为一个大素数，n*h为椭圆曲线上点的数量。为了计算效率考虑，h通常设置为1、2或4。

通俗地讲，如果椭圆曲线上的点数量越多，那么这条椭圆曲线的安全度就越高，因此n的取值是影响曲线安全的关键。

椭圆曲线又都是基于有限域的，曲线上的点都是有限域中的元素，因此，有限域大小决定了曲线安全度。

第三部分「256」就是有限域大小的表现形式，还有更多其他如192、224、384等，在「NIST FIPS 186-4」中有个表格展现了Fp 和F2m两个域的各种不同大小配置。

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SEC标准在这块的设置和NIST标准类似，我们会看到p系列的曲线有p192、p224、p256（secp256k1就是其中一种）、p384和p521，t/B系列有t163/B-163、t233/B-233等。

（4）Koblitz Curve

第四部分「k」表示该曲线是Koblitz Curve，从「SEC 2」中可以看到还有此处标记为r的曲线（如secp256r1），r表示该曲线是伪随机曲线Pesudo-Random Curve。

Koblitz Curve命名源自数学家「Neal Koblitz」，它是一种特殊的曲线，它的一些参数是精心挑选设置的。Koblitz Curve具有自同态的性质，可以通过优化大幅提升计算效率。

相比之下，Pesudo-Random Curve的对应参数是通过随机种子计算出来的，有标准的检验算法可以检测所有参数是随机种子产生而来。

对应「（2）有限域」中的两个椭圆曲线，Koblitz Curve分别简化为

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例如，secp256k1对应的曲线b=7，即曲线表示为

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在「NIST FIPS 186-4」中Koblitz Curve曲线以「K-」标记开头，分别有K-163、K-233等。

（5）末位标记

到了第五部分「1」，这是代表在前4个条件下提供了多种推荐参数设置，在SEC标准中大部分该位都是1，即只提供一种推荐参数，sect163r2是一个例外。

下面把SEC和NIST两个标准推荐的曲线分别列一下，二者有较大部分是相同的参数设置。

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上述表格中，同一行中SEC和NIST都出现的，两个曲线虽然名字不同，但参数完全相同，也就是说其实一样的。

橙色底纹的几个SEC曲线没有对应的NIST曲线，因此SEC标准包含的曲线比NIST多一些，本文开头提到的secp256k1就是SEC单独存在的。

说到这里，不得不提一个正经八卦。据说，NIST推荐的Pesudo-Random Curve，也就是P和B系列，并没有公布随机数挑选规则，外界存在一种疑虑，可能NSA（美国国家安全局）掌握了后门，能够轻易破解这些密码协议。有兴趣的同学可以搜索「Dual_EC_DRBG后门」，更大的八卦是据说中本聪选择secp256k1作为比特币签名算法的曲线，而没有选择更常用的secp256r1，也是因为这个潜藏的风险。

椭圆曲线族谱

调研发现，「Standard curve database」记录了比「SafeCurve」更为详细的标准和曲线，感觉这可以算是椭圆曲线族谱了。翻阅该网站记录的所有曲线，发现绝大部分还是基于「（2）有限域」中的曲线，推荐的参数不同而已。

但是，在「other」中存在几种例外，E-222采用Edward Curve，Curve25519采用Montgomery Curve，Ed448采用Twisted Edward Curve。

Edward Curve是什么？Montgomery Curve又是怎样的？Edward与Twisted Edward Curve又有什么关系？

上述问题再一次触碰到我的知识盲区，所以接下来只好以截图为主，内容源自Wikipedia，如果觉得看着有点晕，可直接跳过看结论。

「Edward Curve」定义如下：

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「Montgomery Curve」定义如下：

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「Twisted Edward Curve」定义如下：

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「Curve25519」定义如下：

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「Ed25519」的定义如下：

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根据Wikipedia，大概可以整理出这么几个信息：

Edward Curve是Twisted Edward Curve中的一种
Twisted Edward Curve和Montgomery Curve可以互相转换
Edward Curve和Montgomery Curve这两种曲线都具有特殊属性，例如能够为计算加速
Curve25519是一种曲线，Ed25519是一种签名算法
Curve25519又是精选的Montgomery Curve，具有更高的计算效率
Curve25519和Ed25519采用的曲线是一致的，一个是Montgomery表现形式，一个是Twisted Edward Curve表现形式
25519的取名来自于该曲线的有限域参数p=2255-19
在阅读Wikipedia的过程中发现一个名字「Weierstrass equation」，原来它才是这些曲线的鼻祖，在一个域k上的任何一个平面曲线，都可以表示成Weierstrass equation。

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不难发现，前面提到过的各个公式都是Weierstrass equation的一种演化版本（Twisted Edward Curve看起来不是，但是它可以转换到Montgomery Curve，本质上也一样）

到此，为椭圆曲线寻根问到祖，并且从「STD」也获知了椭圆曲线家族的族谱。「STD」中罗列了多个其他标准，例如Brainpool曲线系列、BN曲线系列、MNT曲线系列等，这些系列的背后都代表了一种独特的曲线生成哲学，或是为了提供可验证的随机数，或是为了提供满足Paring的特性，或是为了提高抗攻击的能力等等，每一份精心选择的参数都是一群数学家们巧夺天工的设计。