物理笔记1

加速度及相关知识点

曲线运动的加速度 $\vec{a}$
- 自然坐标系， $\vec{e}_n$ ， $\vec{e}_{t}$
- 匀速圆周运动的加速度，向心加速度 $a_n=\frac{v^2}{R}$
  - 写成矢量式 $\vec{a}_n=\frac{v^2}{R}\vec{e}_n$
- 直线运动的加速度，切向加速度 $a_t=\frac{dv}{dt}$
  - 写成矢量式 $\vec{a}_t=\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}$
- 变速圆周运动的加速度
  - $\vec{a}=\vec{a}_n+\vec{a}_t$
    = $\frac{v^2}{R}\vec{e}_n$ + $\frac{dv}{dt}\vec{e}_t$
- 一般曲线运动的加速度
  - 曲率半径的直观感受
  - 计算曲率半径
    
    图片发自简书App

例题

例1.

曲线运动中，加速度经常按切向 $\vec{e}_{t}$ 和法向 $\vec{e}_{n}$ 进行分解：

$\vec{a}=\vec{a}_{t}+\vec{a}_{n}=\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}+\frac{v^{2}}{R}\vec{e}_{n}$

借助熟悉的例子来构建其直观物理图像，有助于理解并记忆这些复杂的公式。
- 在弯曲的轨道上匀速率行驶的火车，
  (1) $\vec{a}_{t}\neq0$ ，
  (2) $\vec{a}_{t}=0$ ，
- 在直线上加速跑向食堂的小伙伴，
  (3) $\vec{a}_{t}\neq0$ ，
  (4) $\vec{a}_{t}=0$ ，
- 变速圆周运动的质点，
  (5) $\vec{a}_{t}\neq0$ ， $\vec{a}_{n}=0$ 。
  (6) $\vec{a}_{t}\neq0$ ， $a_{n}=\frac{v^{2}}{R}$ (不就是高中学过的向心加速度嘛)
  
  上述判断正确的为(2)、(3)、(6)

解答：2.火车匀速率行驶，速度大小没有改变。
3.加速直线跑向食堂速度发生改变，但方向没有发生改变。
6.变速圆周运动它的方向大小均发生了改变。

法向加速度只改变速度方向，切向加速度只改变速度大小。

例2.

一个质点在做圆周运动时,则
- 切向加速度一定改变, 法向加速度也改变
- 切向加速度可能不变, 法向加速度一定改变
- 切向加速度可能不变, 法向加速度不变
- 切向加速度一定改变, 法向加速度不变

解答：2正确

例3.

物体作斜抛运动，初速度大小为 $v_{0}$ ，且速度方向与水平前方夹角为 $\theta$ ，则物体轨道最高点处的曲率半径为( )。

解答： $\rho=\frac{v^2}{a_n}$ = $\frac{(vcos\theta)^2}{g}$

例4.

质点在 $Oxy$ 平面内运动，其运动方程为 $\vec{r}=t\ \vec{i}+\frac{1}{2}t^{2}\ \vec{j}$ ．则在 $t=1$ 时切向和法向加速度分别为( )
a= $\sqrt{(\vec{a}_n)^2+(\vec{a}_t)^2}$
$\vec{v}_{x}$ =1 $\vec{v}_{y}$ =t
v= $\sqrt{t^2+1}$ $\vec{a}_t$ = $\frac{dv}{dt}\cdot\vec{e}_t$ = $\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}\cdot\vec{e}_t$
当t=1时， $\vec{a}_t$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{e}_t$ a= $\sqrt{(\vec{a}_n)^2+(\vec{a}_t)^2}$
1= $\sqrt{\vec{a}_n)^2+\frac{1}{2}}$
因此 $\vec{a}_n$ = $\frac{1} {\sqrt{2}}\vec{e}_n$

作业

质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为 $\vec{r}=3t\ \vec{i}+(1-t^{2})\ \vec{j}$ ．则在 $t_{1}=1$ 到 $t_{2}=5$ 时间内的平均速度为

解答：

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设质点的运动学方程为 $\vec{r}=R\cos\omega t\ \vec{i}+R\sin\omega t\ \vec{j}$ (式中 $R$ 、 $\omega$ 皆为常量) 则质点的速度和速率分别为

解答：

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运动学的一个核心问题是已知运动方程，求速度和加速度。质点的运动方程为
$\begin{cases} x=-10t+30t^{2} & ,\\ y=15t-20t^{2} & , \end{cases}$
则 $t$ 时刻的速度与速率

解答：

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曲线运动的加速度

例题

例1.

法向加速度只改变速度方向，切向加速度只改变速度大小。

例2.

例3.

例4.

作业

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