物理笔记1

加速度及相关知识点

  • 曲线运动的加速度\vec{a}​

    • 自然坐标系， \vec{e}_n，\vec{e}_{t}

    • 匀速圆周运动的加速度，向心加速度 a_n=\frac{v^2}{R}

      • 写成矢量式 \vec{a}_n=\frac{v^2}{R}\vec{e}_n

    • 直线运动的加速度，切向加速度 a_t=\frac{dv}{dt}​

      • 写成矢量式 \vec{a}_t=​\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}

    • 变速圆周运动的加速度

      • \vec{a}=​\vec{a}_n+\vec{a}_t
        =\frac{v^2}{R}\vec{e}_n+\frac{dv}{dt}\vec{e}_t

    • 一般曲线运动的加速度

      • 曲率半径的直观感受

      • 计算曲率半径
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例题

  • 例1.

    曲线运动中，加速度经常按切向\vec{e}_{t}和法向\vec{e}_{n}进行分解：

    \vec{a}=\vec{a}_{t}+\vec{a}_{n}​=\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}+\frac{v^{2}}{R}\vec{e}_{n}​

    借助熟悉的例子来构建其直观物理图像，有助于理解并记忆这些复杂的公式。

    • 在弯曲的轨道上匀速率行驶的火车，
      (1) \vec{a}_{t}\neq0，
      (2) \vec{a}_{t}=0，

    • 在直线上加速跑向食堂的小伙伴，
      (3) \vec{a}_{t}\neq0，
      (4) \vec{a}_{t}=0，

    • 变速圆周运动的质点，
      (5) \vec{a}_{t}\neq0，\vec{a}_{n}=0。
      (6) \vec{a}_{t}\neq0，a_{n}=\frac{v^{2}}{R} (不就是高中学过的向心加速度嘛)

      上述判断正确的为(2)、(3)、(6)

解答：2.火车匀速率行驶，速度大小没有改变。
3.加速直线跑向食堂速度发生改变，但方向没有发生改变。
6.变速圆周运动它的方向大小均发生了改变。

法向加速度只改变速度方向，切向加速度只改变速度大小。

  • 例2.

    一个质点在做圆周运动时,则

    • 切向加速度一定改变, 法向加速度也改变
    • 切向加速度可能不变, 法向加速度一定改变
    • 切向加速度可能不变, 法向加速度不变
    • 切向加速度一定改变, 法向加速度不变

解答：2正确

  • 例3.

    物体作斜抛运动，初速度大小为v_{0}，且速度方向与水平前方夹角为\theta，则物体轨道最高点处的曲率半径为( )。

解答：\rho=\frac{v^2}{a_n}=\frac{(vcos\theta)^2}{g}

  • 例4.

    质点在Oxy 平面内运动，其运动方程为\vec{r}=t\ \vec{i}+\frac{1}{2}t^{2}\ \vec{j}．则在t=1 时切向和法向加速度分别为( )
    a=\sqrt{(\vec{a}_n)^2+(\vec{a}_t)^2}
    \vec{v}_{x}=1 \vec{v}_{y}=t
    v=\sqrt{t^2+1} \vec{a}_t=\frac{dv}{dt}\cdot\vec{e}_t=\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}\cdot\vec{e}_t
    当t=1时，\vec{a}_t=\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{e}_t a=\sqrt{(\vec{a}_n)^2+(\vec{a}_t)^2}
    1=\sqrt{\vec{a}_n)^2+\frac{1}{2}}
    因此\vec{a}_n=\frac{1} {\sqrt{2}}\vec{e}_n

作业

  • 质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为\vec{r}=3t\ \vec{i}+(1-t^{2})\ \vec{j}．则在t_{1}=1 到t_{2}=5 时间内的平均速度为

解答：
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  • 设质点的运动学方程为 \vec{r}=R\cos\omega t\ \vec{i}+R\sin\omega t\ \vec{j} (式中R、\omega皆为常量) 则质点的速度和速率分别为

解答：
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  • 运动学的一个核心问题是已知运动方程，求速度和加速度。质点的运动方程为
    \begin{cases} x=-10t+30t^{2} & ,\\ y=15t-20t^{2} & , \end{cases}
    则t时刻的速度与速率

解答：
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