连续

设 $X$ 和 $Y$ 为两拓扑空间，一个函数 $f:X\to Y$ 被称为连续的，如果对于 $Y$ 中的任意开集 $V$ ，我们有 $f^{-1}(V)$ 是 $X$ 中的一个开集。函数的连续性不仅取决于函数本身，也取决于定义域和值域的拓扑结构。

如果 $Y$ 由基 $\mathcal{B}$ 生成，那么 $Y$ 中的任意开集可以写成 $V=\bigcup_{\alpha \in J} B_\alpha$ ，其逆映射可以写成 $f^{-1}(V)=\bigcup_{\alpha \in J} f^{-1}(B_\alpha)$ 。因此，为了证明函数 $f$ 是连续的，只需要证明对于所有的基元素 $B$ ， $f^{-1}(B)$ 在 $X$ 中是开集。同理我们可以说明，如果 $Y$ 由子基生成，那么只需要证明所有的子基的逆映射在 $X$ 中是开集。

在微积分中，我们曾经使用 $\varepsilon-\delta$ 语言定义实数到实数上的连续函数。对于一个连续函数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ，给定 $x_0\in \mathbb{R}$ 和 $\varepsilon>0$ ， $V=(f(x_0)-\varepsilon,f(x_0)+\varepsilon)$ 是实数轴上的开集，函数 $f$ 的连续性保证存在 $\delta>0$ ，使得 $U_\delta=(x_0-\delta,x_0+\delta)$ 有： $f(U_\delta)\subset V$ 。那么， $U_\delta \subset f^{-1}(V)$ 。注意到 $U_\delta$ 是一个基元素，因此 $f^{-1}(V)$ 属于该拓扑，即为开集。因此， $\varepsilon-\delta$ 语言定义的连续函数和在这里定理的连续函数并不矛盾。

对于连续性，我们有如下等价定理：

定理：设 $X$ 和 $Y$ 是拓扑空间， $f:X\to Y$ 是一个函数，则以下说法等价：

$f$ 是连续函数

对于任意 $A\subset X$ ，有 $f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}$

对于任意闭集 $B\subset Y$ ， $f^{-1}(B)$ 是 $X$ 中的闭集

对于任意 $x\in X$ 和任意 $f(x)$ 的邻域 $V$ ，存在一个 $x$ 的邻域 $U$ ，使得 $f(U)\subset V$
注：如果 4. 对某点 $x$ 成立，我们说 $f$ 在 $x$ 处连续。

同胚

设 $X$ 和 $Y$ 为两拓扑空间， $f:X\to Y$ 为双射。如果 $f$ 和 $f^{-1}$ 均连续，那么 $f$ 为一个同胚。

不难看出，对于一个同胚 $f$ ， $f(U)$ 是开集当且仅当 $U$ 是开集。因此，同胚不仅仅是定义在两个拓扑空间元素上的对应，也是定义在两个拓扑空间的开集的集合（即拓扑）上的对应。因此， $X$ 上定义的能完全被拓扑决定的性质，经过同胚映射，在 $Y$ 上也会有相应的性质。这些性质被称为拓扑性质。

在抽象代数中，同构是两个代数对象（例如群、环）之间的能够保留代数结构的双射。类似的，在拓扑中，同胚是两个拓扑空间之间的能够保留拓扑结构的双射。

设 $X$ 和 $Y$ 为两拓扑空间， $f:X\to Y$ 为单射。令 $Z$ 为 $X$ 在 $f$ 下的像集，则 $Z$ 可以作为 $Y$ 的一个子空间。令 $f':X\to Z$ 为 $f$ 限制值域到 $Z$ 的映射，则 $f'$ 是一个双射。如果 $f'$ 正好是一个同胚，那么称 $f$ 为 $X$ 到 $Y$ 的拓扑嵌入，简称为嵌入。

构造连续函数

定理（连续函数构造法则）：设 $X,Y,Z$ 为三个拓扑空间，则：

$f:X\to Y$ 将 $X$ 中所有元素映射到单点 $y_0\in Y$ ，则 $f$ 连续

如果 $X$ 是 $Y$ 的子空间，则内含函数 $j:X\to Y$ 连续

如果 $f:X\to Y$ 和 $g:Y\to Z$ 都连续，那么 $g \circ f:X\to Z$ 连续

如果 $f:X\to Y$ 连续， $Z\subset X$ ，则 $f|Z: Z\to Y$ 连续

如果 $f:X\to Y$ 连续， $Y \subset Z$ ，那么 $g:X\to Z$ 连续

如果 $f:X\to Y$ 连续， $f(X)\subset Z \subset Y$ ，那么 $g:X\to Z$ 连续

如果 $X=\bigcup_{\alpha}U_\alpha$ 开集且 $f|{U_\alpha}:U_\alpha\to Y$ 连续，则 $f:X\to Y$ 连续

对于 7，我们在闭集下也有类似的定理：

定理（粘接引理）：令 $X=A\cup B$ ，其中 $A$ 和 $B$ 为 $X$ 中的闭集。令 $f:A\to Y$ 和 $g:B\to Y$ 均连续，如果 $f(x)=g(x),\forall~x\in A\cap B$ ，定义 $h:X\to Y如下$ ：
$h(x) = \begin{cases} f(x),~~x\in A \\ g(x),~~x\in B \end{cases}$
则 $h$ 连续。