序拓扑

在上一节我们在实数轴上定义了标准拓扑，其实我们可以把标准拓扑的定义拓宽在任意有序集上。如果 $X$ 是一个有序集，通过序关系可以定义一个标准拓扑 $\mathcal{T}$ ，称之为序拓扑。一般地，对于 $a,b\in X$ 且 $a<b$ ，我们可以定义区间：

$(a,b)=\{x~|~ a<x<b\}$
$(a,b]=\{x~|~ a<x\leq b\}$
$[a,b)=\{x~|~ a\leq x<b\}$
$[a,b]=\{x~|~ a\leq x\leq b\}$

接下来我们严格定义序拓扑。如果 $X$ 是一个具有简单序关系的集合且元素个数大于1，则以下列集合为元素的集合 $\mathcal{B}$ 构成了一个基，且 $\mathcal{B}$ 生成的拓扑 $\mathcal{T}$ 即为序拓扑：

所有在 $X$ 中的开区间 $(a,b)$
所有形如 $[a_0,b)$ 的区间，其中 $a_0$ 为 $X$ 中的最小元素（如有）
所有形如 $(a,b_0]$ 的区间，其中 $b_0$ 为 $X$ 中的最大元素（如有）

不难验证 $\mathcal{B}$ 确实是 $X$ 的一个基，只需要对于不同的情况分别对定义进行验证即可。在上一节中我们还定义了一个概念叫“子基”，那么对于基 $\mathcal{B}$ ，它对应的子基 $\mathcal{C}$ 的结构是什么样的呢？事实上，如果我们定义射线：

$(a,+\infty)=\{x~|~x>a\}$
$(-\infty,b)=\{x~|~x<b\big\}$
$[a,+\infty)=\{x~|~x\geq a\}$
$(-\infty,b]=\{x~|~x\leq b \}$

其中，前两个射线叫做开射线。所有开射线构成的集合即为生成序拓扑 $\mathcal{T}$ 的子基 $\mathcal{C}$ 。这是因为开射线的交集构成的集合即为 $\mathcal{B}$ 。

积拓扑

如果 $X$ 和 $Y$ 是两个拓扑空间，那么我们可以在笛卡尔积 $X\times Y$ 上定义拓扑。事实上， $X\times Y$ 上可以定义积拓扑 $\mathcal{T}$ ，它的基是所有具有 $U\times V$ 形式的集合的集合，其中 $U$ 是 $X$ 的开集， $V$ 是 $Y$ 的开集。两个拓扑空间的积拓扑与各自的拓扑有如下关系：

定理：如果 $X$ 和 $Y$ 上的拓扑分别由基 $\mathcal{B}$ 和 $\mathcal{C}$ 生成，那么 $X\times Y$ 上的拓扑的一个基可以表示为：
$\mathcal{D}=\{B\times C~|~B\in\mathcal{B},~C\in\mathcal{C}\}$

这个定理的证明只需要使用上一节的引理即可。任取一个开集 $W\in X\times Y$ 以及一个点 $x\times y \in W$ ，根据积拓扑的定义，存在一个基元素 $U\times V$ 使得 $x\times y \in U\times V \subset W$ 。又由于 $\mathcal{B}$ 和 $\mathcal{C}$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的基，可以选择 $B$ 和 $C$ ，使得 $x\in B \subset U$ 且 $y \in C \subset V$ ，则 $x\times y \in B\times C \subset W$ ，根据引理即可得出 $\mathcal{D=B\times C}$ 是一个基。

有时我们希望通过子基定义积拓扑。为了引出积拓扑的子基，首先我们定义投影函数。投影函数即取笛卡尔积的其中一个维度的函数：
$\pi_1:X\times Y \to X,~~\pi_1(x,y)=x$ $\pi_2: X\times Y \to Y,~~\pi_2(x,y)=y$ 可以看出，如果 $U$ 是 $X$ 中的一个开集，那么 $\pi_1^{-1}(U)=U\times Y$ ；同样的，如果 $V$ 是 $Y$ 中的一个开集，那么 $\pi_2^{-1}(V)=X\times V$ 。因此， $\pi_1^{-1}(U)\cap \pi_2^{-1}(V)=U\times V$ ，这引出了下面这个关于积拓扑的子基的构造的定理：

定理：集合
$\mathcal{S}=\{\pi_1^{-1}(U)~|~U\subset X开集\} \cup \{\pi_2^{-1}(V)~|~V\subset Y开集\}$ 是生成 $X\times Y$ 的积拓扑的一个子基

设 $X\times Y$ 的积拓扑为 $\mathcal{T}$ ， $\mathcal{S}$ 生成的拓扑为 $\mathcal{T}'$ ，且 $U\times V\in \mathcal{T}$ ，证明该定理需要两部分：

$\mathcal{T}' \subset \mathcal{T}$ ：由 $\mathcal{S}\subset \mathcal{T}$ 可以得出
$\mathcal{T}\subset\mathcal{T}'$ ：由 $U\times V=\pi_1^{-1}(U)\cap \pi_2^{-1}(V)\in \mathcal{T}'$ 可以得出

子空间拓扑

拓扑空间与线性空间经常可以进行类比，在线性空间中我们可以定义子空间，在拓扑空间中我们也可以定义子空间拓扑和子空间。设 $X$ 是一个拓扑空间，其上的拓扑为 $\mathcal{T}$ ，若 $Y$ 是 $X$ 的一个子集，那么：
$\mathcal{T}_Y=\{Y\cap U~|~U\in\mathcal{T}\}$ 是在 $Y$ 上的拓扑，称为子空间拓扑；在拓扑 $\mathcal{T}_Y$ 上， $Y$ 是 $X$ 的一个子空间。

子空间拓扑的基和原拓扑的基有什么关系呢？首先，子空间拓扑的基元素要包含在子空间拓扑中，这启示我们需要对原拓扑的基进行一定的处理。事实上，子空间拓扑的基元素即为原拓扑的基元素与子空间的交集：

引理：如果 $\mathcal{B}$ 是拓扑空间 $X$ 的一个基，那么
$\mathcal{B}_Y=\{B\cap Y~|~B\in\mathcal{B} \}$ 是在 $Y$ 上的子空间拓扑的一个基。

该引理的证明十分简单，只需要使用上一节中的引理即可证明之。

我们知道，一个拓扑中的元素被称为该拓扑空间的开集，那么子空间中的开集与原空间的开集有什么关系呢？开集在拓扑空间中有类似传递性的性质；事实上，我们有下面的引理：

引理：设 $Y$ 是 $X$ 的一个子空间，如果 $U$ 是 $Y$ 中的开集且 $Y$ 是 $X$ 的开集，那么 $U$ 是 $X$ 的开集。

接下来，我们可以探索序拓扑和积拓扑的子拓扑与原拓扑的子拓扑关系。对于积拓扑和序拓扑，一方面我们可以使用它们的定义对原拓扑空间的子空间定义出相应的拓扑 $\mathcal{T}$ ，另一方面我们也可以用子拓扑的定义来定义相应的子拓扑 $\mathcal{T}'$ 。事实上，对于积拓扑，我们可以证明 $\mathcal{T=T'}$ ：

定理：如果 $A$ 是 $X$ 的子空间， $B$ 是 $Y$ 的子空间，那么 $A\times B$ 上的积拓扑即为 $A\times B$ 作为 $X\times Y$ 的子空间上的子拓扑。

注意到 $(U\times V)\cap (A\times B)=(U\cap A)\times(V\cap B)$ ，而等式左边为 $A\times B$ 在 $X\times Y$ 上的子拓扑的基元素，等式右边为 $A\times B$ 的积拓扑的基元素，因此引理得以证明。

对于序拓扑而言，设 $X$ 是一个序拓扑空间， $Y$ 是 $X$ 的一个子空间，把在 $X$ 上定义的序关系限制到 $Y$ 上，则 $Y$ 也成为一个序集。但是， $Y$ 上的序拓扑并不一定是 $Y$ 作为 $X$ 的子空间上的子拓扑。

设 $X=\mathbb{R}$ ， $Y=[0,1)\cup\{2 \}$ ，由于 $\{2 \} =(1.5,2.5)\cap Y$ ，因此 $\{ 2 \}$ 是 $Y$ 作为子空间上的子拓扑的开集；但由于 $2$ 也是 $Y$ 上的最大的元素，因此 $Y$ 的序拓扑中包含 $2$ 的元素必须形如 $(a,2]$ ，其中 $a\in Y$ ，因此 $\{ 2 \}$ 不是 $Y$ 上的序拓扑的开集。通过这个例子我们可以看出，序拓扑空间的子拓扑并不一定等于子空间的序拓扑。