前言 - 简书

暑假实在没事做，想要找一点事情做。
这不，盯上了8月末的数学建模比赛。
本套文集参考《数学建模算法与应用》第二版，工具为matlab。
闲话不多话。吐槽一句，简书的markdown语法太不友好了。
开始：

前言

在开始之前，先让大家看一道题

2020年高考文科数学丙卷

相信大家在经历过高中数学之后，这道题已经不再陌生，最有效的方法就是画出坐标轴，然后对

z = 3x+2y

进行平移，这条直线与y轴会相交于一点，当这一点的

y

值最大时，这个

z

就是最大值。这就是线性规划。

线性规划

数学标准型：

一般的线性规划问题的数学标准型为：
$max \quad z =\sum_{j=1}^nc_jx_j \\ s.t.\left\{ \begin{matrix} \sum_{j=1}^n a_{ij}x_j = b_i, i = 1,2,....,m, \\ x_j \geq0, j =1,2,.....,n \end{matrix} \right.$
式中 $b_i \geq 0, i = 1,2,.....,m$ .
大家学过线性代数的都知道，以上式子可以转化为一个矩阵，进而我们只需要对矩阵进行求解即可。

Matlab 中线性规划标准型。

由于现实问题中既有求最大值，也有求最小值，不等号可以时大于号，也可以是小于号，为了避免这种多样性带来的不便，所以在matlab中我们简化为一下形式：
$\underset {x}{min} f^T x, \\ \quad\\ s.t.\left\{ \begin{matrix} A\cdot x \leq b \\ Aeq\cdot x =beq \\ lb \leq x \leq ub \end{matrix} \right.$
式中： $f,x,b,beq,lb,ub$ 为列向量，其中 $f$ 称为价值向量， $b$ 称为资源向量； $A,Aeq$ 为矩阵。
在Matlab中求解线性规划的命令为

[x,fval] = linprog(f,A,b)
[x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq)
[x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,up)

式中：x返回决策向量的取值，fval返回目标函数的最优值；f为价值向量；A和b对应线性不等式约束；Aeq和beg对应线性等式约束；lb和ub分别对应x的上界和下届。

Example

求解下列线性规划问题：
$min\quad z = 2x_1 +3x_2 +x_3\\ s.t.\left\{ \begin{matrix} x_1 + 4x_2 + 2x_3 \geq 8, \\ 3x_1 +3x_2 \geq 6, \\ x_1,x_2,x_3 \geq 0 \end{matrix} \right.$

可以转化为线性规划的问题

例如：
$min |x_1|+ |x_2| +...... +|x_n|.\\ s.t. \quad Ax\leq 0$
式中： $x$ = [ $x_1,x_2......x_n$ ]; $A$ 和 $b$ 为矩阵和向量。

要把上面的问题变换成线性规划的问题，只要注意到事实：对任意的 $x$ ,存在 $u,v\geq 0$ , such that:
$x_i = u_i-v_i, |x| = u_i +v_i$
这样 $u_i = \frac{x_i+|x_i|}{2}$ , $v_i = \frac{|x_i|-x_i}{2}$ 就可以满足上面的条件。（我刚开始看到这个地方很不理解为什么，直到我看到了这里，这里u，或者v必有一个是0）.

这样记__ $u = [u_1,...,u_n]^T$ , $v = [v_1,...,v_n]^T$ 就可以把上面的问题变成
$min\sum_{i=1}^n(v_i+u_i),\\ s.t. \left\{ \begin{matrix} [A,-A][u,v]^T \leq b, \\ u,v \geq 0. \end{matrix} \right.$

Example

P1

$min \quad z = |x_1| +2|x_2|+ 3|x_3| +4|x_4|，\\ s.t. \left\{ \begin{matrix} x_1 -x_2 -x_3 +x_4 \leq -2, \\ x_1 - x_2 +x_3 -3x_4 \leq -1, \\ x_1 -x_2 -2x_3 +3x_4 \leq -\frac{1}{2} \end{matrix} \right.$

数学建模时的基本步骤

符号规定和基本假设
模型的分析与建立
模型的求解
结果分析

由于在这个例子太过繁琐我就不举例了。
今天只是很简单的一部分，不错的开始，就是高中的内容。上面习题答案就不贴上去了。
明天继续。（还想再复习一下卷积，并用manim做一个视频讲解。）

前言

前言

线性规划

数学标准型：

Matlab 中线性规划标准型。

Example

可以转化为线性规划的问题

Example

P1

数学建模时的基本步骤

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