布尔和逻辑数学

“纠正我们推理的唯一方法,是使它们像数学家的推算一样实在可靠,这样我们就能一目了然地发现错误。当人与人之间争论不休时,我们只要说:别再吵了,让我们算算看谁才是对的。”

亚里斯多德开创逻辑系统很棒,但是……

莱布尼兹提出只用 0 与 1 的二进位算术,成为现代电脑的运算方式。不过,现代电脑可不是之前的计算器,即由齿轮转动的圈数来做加减乘除,而是利用电子零件的开关状态。开关状态如何做二进位算术?这就需要借助“逻辑运算”。

逻辑运算这个词在现代听起来理所当然,但你若拿去问十八世纪以前的人,他一定觉得莫名其妙,逻辑用的都是文字语句,又不是数学,怎么运算呢?

是的,打从亚里斯多德开创有规则可循的逻辑系统,两千年来表达逻辑的方式都是用自然语言做为陈述句,例如下面这个最具代表性的三段论。

大前提:所有人都会死。

小前提:苏格拉底是人。

结论:苏格拉底会死。


亚里斯多德雕像


然而自然语言不免会有多重涵义,或是容易有歧义的问题,不仅翻译成不同语言可能造成误解,就算是使用同一种语言的人,也可能会对其中的逻辑关系有不同认知。例如“有关系就没关系,没关系就有关系”这句俗谚裡面,“关系”这个词项显然有不同涵义,而“有”与“没”的用法也前后不一。

况且除了简单的三段论,还有其它形式更複杂的逻辑陈述,用自然语言确实无法精确地表示各种逻辑形式和规律。

你以为数学式本来就长这样?

其实数学早期也都是用自然语言,如果翻开当时的数学书籍,只见尽是长长的文字叙述,即使看得懂,恐怕也难以联想到它就是代表一个简单的公式而已。这是因为直到十六世纪,数学才开始用符号来表达,像加、减、乘、除、等于都是约莫那个时候才改用 +、-、×、÷、= 代表。而我们现在熟悉的数学式记法,包括用字母代表未知数,更是十七世纪才盛行。


加、减、乘、除、等于,约莫到 16 世纪才改用 +、-、×、÷、= 代表


数学符号化之后,表述方式更加简短精确,计算也变得方便许多。而且由于符号不受语文隔阂,不同国家的数学家都能一目了然,因此得以加速数学与科学的传播与交流,是促成科学革命的重要基石。

莱布尼兹本身游历德国、法国、英国三地,又曾为微积分创造新的符号,更能感受符号化的重要性,因此在他梦想有数学般的通用文字之前,就已经试图把逻辑转换为数学那样的表示方式,也就是现代所称的“数理逻辑”。

莱布尼兹致力于逻辑数学化,可惜无人知

莱布尼兹先于 1679 年设想各种基本概念都用某个质数代表,例如“动物”用 “2” 代表,“理性”是 “3”,那么“人是理性的动物”这个句子就相当于 “6=2×3”,也就是说代表“人”的数字是 “6”。从 6=2×3 可以推导出 6÷3=2,代表“人失去理性等于动物”,这样便能透过计算完成逻辑推论。

1686 年,莱布尼兹改用 A、B、C……等字母符号代表普通命题,并引入“非”、“等于”、“不等于”、“属于”、“不属于”等符号,然后用这些符号列出交换律、传递关系……等处理集合关系的运算规则。


到了 1690 年,他又将加法与减法纳入逻辑演算之中,让逻辑的符号化与数学化更加完整,可以说已经为数理逻辑打下坚固的地基。无奈这些手稿在莱布尼兹生前从未公开,直到二十世纪初世人才知道他这方面的研究,数理逻辑的发展因此延迟了一个半世纪,才由英国数学家布尔 (George Boole) 重新开创。


布尔绘于 1860 年的肖像


布尔公亲变事主,重新开创数学逻辑

布尔于 1815 年出生在一个乡下小镇,父亲是个鞋匠。因为家境清寒,他自小学毕业后就没再受正式教育,而是靠自学习得语文与数学知识。

布尔十六岁时被当地一所学校聘为教师,成为家中经济支柱;到了十九岁干脆自己开办学校,同时更投入数学的研究。布尔二十三岁开始发表数学论文,逐渐获得伦敦学术圈的注意,其中一位数学家德摩根 (Augustus De Morgan) 与他结为好友,后来竟为他带来开创逻辑新局的契机。

话说十九世纪的哲学家已经注意到亚里斯多德的三段论有许多问题,因此包括德摩根在内的一些学者开始思考如何将逻辑数学化(如之前所说,他们浑然不知莱布尼兹早已做了研究)。1846 年,德摩根发表了一篇关于三段论的论文,主要是针对命题中的“所有”、“有些”,或“大部分”提出量化的讨论。

没想到论文发表后,另一位英国哲学家汉弥尔顿 (Sir William Hamilton) 立即跳出来指控德摩根剽窃自己的想法。布尔身为德摩根好友,自然要关切两人争执的内容,没想到他深入研究后,竟从原本的旁观者摇身一变为一代宗师。


1847 年,布尔出版了《逻辑的数学分析》(The Mathematical Analysis of Logic),这本仅仅 82页的小册子立即撼动了哲学界与数学界。这裡面完全用代数的形式来表达传统逻辑,像“且”、“或”、“非”、“若……则……”等逻辑关系都化为乘法与加、减法;命题的真伪就用 1 与 0 两种数值代表;另外布尔再订出结合律、分配律、……等基本公理,成功地将逻辑数学化。

从此逻辑推论可以改用简洁精确的数学式计算,不但避免语意模稜两可造成的谬误,也大幅增加处理命题的效能。在许多学者投入之下,数理逻辑这门全新的路线迅速发展,布尔自己也在 1854 年出版的《思维法则》(The Laws of Thought) 中,把整个系统补强得更完整。

其实布尔的研究成果有许多都是莱布尼兹已经做过的,但历史就是这么奇妙,莱布尼兹被视为二进位制的创立者,是因为一个世纪前的哈里奥特没有公开发表论文。如今换成莱布尼兹自己没有将逻辑代数的研究整理发表,而让逻辑代数在一个半世纪后冠上布尔之名(称为“布尔代数”(Boolean algebra),”Boolean”意指“布尔的”)。


用布林代数表示逻辑命题


还有一点令人惋惜的是,莱布尼兹如此看重二进位制,却没有像布尔那样,用 1 与 0 代表命题运算后的真伪。对于电脑运算而言,这是绝对必要的,因此从电脑发展的角度而言,即使莱布尼兹的文稿更早公开,布尔一定还是会在发明电脑的功劳簿上记上一笔。

二进位制与布尔代数就绪,现代电脑只欠东风

事实上,布尔对计算机也不陌生。由于好友德摩根是爱达·勒芙蕾丝的数学家教,透过这层关系,布尔曾经跟巴贝奇书信往来。他在 1862 年写给巴贝奇的一封信中,还特地感谢他为自己解释差分机的细节。就像当年莱布尼兹曾设想过二进位的计算机,我们不禁要想像若是结合布尔的全新观点与巴贝奇的设计天分,是否会改变计算机的历史?

但这已无从得知了,因为布尔在两年之后就死于非命。原来布尔冒著大雨到学校教课,因此感冒发烧,不料他那迷信顺势疗法的老婆,竟继续往布尔身上浇了好几桶水,反而导致他严重肺炎,才四十九岁就因病过世。

无论如何,没有电还是不会有现代电脑,因此尽管二进位制与布尔代数早已就绪,仍需等待东风——也就是电力与硬件,计算机才能航向全新的世代。当然,东风起了,还得有个诸葛孔明运筹帷幄呢……。“纠正我们推理的唯一方法,是使它们像数学家的推算一样实在可靠,这样我们就能一目了然地发现错误。当人与人之间争论不休时,我们只要说:别再吵了,让我们算算看谁才是对的。”

亚里斯多德开创逻辑系统很棒,但是……

莱布尼兹提出只用 0 与 1 的二进位算术,成为现代电脑的运算方式。不过,现代电脑可不是之前的计算器,即由齿轮转动的圈数来做加减乘除,而是利用电子零件的开关状态。开关状态如何做二进位算术?这就需要借助“逻辑运算”。

逻辑运算这个词在现代听起来理所当然,但你若拿去问十八世纪以前的人,他一定觉得莫名其妙,逻辑用的都是文字语句,又不是数学,怎么运算呢?

是的,打从亚里斯多德开创有规则可循的逻辑系统,两千年来表达逻辑的方式都是用自然语言做为陈述句,例如下面这个最具代表性的三段论。

大前提:所有人都会死。

小前提:苏格拉底是人。

结论:苏格拉底会死。

亚里斯多德雕像

然而自然语言不免会有多重涵义,或是容易有歧义的问题,不仅翻译成不同语言可能造成误解,就算是使用同一种语言的人,也可能会对其中的逻辑关系有不同认知。例如“有关系就没关系,没关系就有关系”这句俗谚裡面,“关系”这个词项显然有不同涵义,而“有”与“没”的用法也前后不一。

况且除了简单的三段论,还有其它形式更複杂的逻辑陈述,用自然语言确实无法精确地表示各种逻辑形式和规律。

你以为数学式本来就长这样?

其实数学早期也都是用自然语言,如果翻开当时的数学书籍,只见尽是长长的文字叙述,即使看得懂,恐怕也难以联想到它就是代表一个简单的公式而已。这是因为直到十六世纪,数学才开始用符号来表达,像加、减、乘、除、等于都是约莫那个时候才改用 +、-、×、÷、= 代表。而我们现在熟悉的数学式记法,包括用字母代表未知数,更是十七世纪才盛行。

加、减、乘、除、等于,约莫到 16 世纪才改用 +、-、×、÷、= 代表

数学符号化之后,表述方式更加简短精确,计算也变得方便许多。而且由于符号不受语文隔阂,不同国家的数学家都能一目了然,因此得以加速数学与科学的传播与交流,是促成科学革命的重要基石。

莱布尼兹本身游历德国、法国、英国三地,又曾为微积分创造新的符号,更能感受符号化的重要性,因此在他梦想有数学般的通用文字之前,就已经试图把逻辑转换为数学那样的表示方式,也就是现代所称的“数理逻辑”。

莱布尼兹致力于逻辑数学化,可惜无人知

莱布尼兹先于 1679 年设想各种基本概念都用某个质数代表,例如“动物”用 “2” 代表,“理性”是 “3”,那么“人是理性的动物”这个句子就相当于 “6=2×3”,也就是说代表“人”的数字是 “6”。从 6=2×3 可以推导出 6÷3=2,代表“人失去理性等于动物”,这样便能透过计算完成逻辑推论。

1686 年,莱布尼兹改用 A、B、C……等字母符号代表普通命题,并引入“非”、“等于”、“不等于”、“属于”、“不属于”等符号,然后用这些符号列出交换律、传递关系……等处理集合关系的运算规则。

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到了 1690 年,他又将加法与减法纳入逻辑演算之中,让逻辑的符号化与数学化更加完整,可以说已经为数理逻辑打下坚固的地基。无奈这些手稿在莱布尼兹生前从未公开,直到二十世纪初世人才知道他这方面的研究,数理逻辑的发展因此延迟了一个半世纪,才由英国数学家布尔 (George Boole) 重新开创。

布尔绘于 1860 年的肖像

布尔公亲变事主,重新开创数学逻辑

布尔于 1815 年出生在一个乡下小镇,父亲是个鞋匠。因为家境清寒,他自小学毕业后就没再受正式教育,而是靠自学习得语文与数学知识。

布尔十六岁时被当地一所学校聘为教师,成为家中经济支柱;到了十九岁干脆自己开办学校,同时更投入数学的研究。布尔二十三岁开始发表数学论文,逐渐获得伦敦学术圈的注意,其中一位数学家德摩根 (Augustus De Morgan) 与他结为好友,后来竟为他带来开创逻辑新局的契机。

话说十九世纪的哲学家已经注意到亚里斯多德的三段论有许多问题,因此包括德摩根在内的一些学者开始思考如何将逻辑数学化(如之前所说,他们浑然不知莱布尼兹早已做了研究)。1846 年,德摩根发表了一篇关于三段论的论文,主要是针对命题中的“所有”、“有些”,或“大部分”提出量化的讨论。

没想到论文发表后,另一位英国哲学家汉弥尔顿 (Sir William Hamilton) 立即跳出来指控德摩根剽窃自己的想法。布尔身为德摩根好友,自然要关切两人争执的内容,没想到他深入研究后,竟从原本的旁观者摇身一变为一代宗师。

布尔为了朋友踏入逻辑数学化领域

命题真伪改用 1与 0代表,逻辑关系化为数学运算

1847 年,布尔出版了《逻辑的数学分析》(The Mathematical Analysis of Logic),这本仅仅 82页的小册子立即撼动了哲学界与数学界。这裡面完全用代数的形式来表达传统逻辑,像“且”、“或”、“非”、“若……则……”等逻辑关系都化为乘法与加、减法;命题的真伪就用 1 与 0 两种数值代表;另外布尔再订出结合律、分配律、……等基本公理,成功地将逻辑数学化。

从此逻辑推论可以改用简洁精确的数学式计算,不但避免语意模稜两可造成的谬误,也大幅增加处理命题的效能。在许多学者投入之下,数理逻辑这门全新的路线迅速发展,布尔自己也在 1854 年出版的《思维法则》(The Laws of Thought) 中,把整个系统补强得更完整。

其实布尔的研究成果有许多都是莱布尼兹已经做过的,但历史就是这么奇妙,莱布尼兹被视为二进位制的创立者,是因为一个世纪前的哈里奥特没有公开发表论文。如今换成莱布尼兹自己没有将逻辑代数的研究整理发表,而让逻辑代数在一个半世纪后冠上布尔之名(称为“布尔代数”(Boolean algebra),”Boolean”意指“布尔的”)。

用布林代数表示逻辑命题

还有一点令人惋惜的是,莱布尼兹如此看重二进位制,却没有像布尔那样,用 1 与 0 代表命题运算后的真伪。对于电脑运算而言,这是绝对必要的,因此从电脑发展的角度而言,即使莱布尼兹的文稿更早公开,布尔一定还是会在发明电脑的功劳簿上记上一笔。

二进位制与布尔代数就绪,现代电脑只欠东风

事实上,布尔对计算机也不陌生。由于好友德摩根是爱达·勒芙蕾丝的数学家教,透过这层关系,布尔曾经跟巴贝奇书信往来。他在 1862 年写给巴贝奇的一封信中,还特地感谢他为自己解释差分机的细节。就像当年莱布尼兹曾设想过二进位的计算机,我们不禁要想像若是结合布尔的全新观点与巴贝奇的设计天分,是否会改变计算机的历史?

但这已无从得知了,因为布尔在两年之后就死于非命。原来布尔冒著大雨到学校教课,因此感冒发烧,不料他那迷信顺势疗法的老婆,竟继续往布尔身上浇了好几桶水,反而导致他严重肺炎,才四十九岁就因病过世。

无论如何,没有电还是不会有现代电脑,因此尽管二进位制与布尔代数早已就绪,仍需等待东风——也就是电力与硬件,计算机才能航向全新的世代。当然,东风起了,还得有个诸葛孔明运筹帷幄呢……。

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