——那些数学老师忘了告诉你的事情(2013-08-18)
自从我跟妮妹讲了讲微积分以后，她现在巴着巴着我跟她讲。
她说「催眠效果实在太好了😜」
😒
是否总觉得手中的教材讲得不透，有种自己编教材的冲动？要是我来编，我会这样……可我就是迈不出第一步。好吧，就把那些我顿悟的地方记下来，一点一点地攒吧。
你数学老师没告诉你，微积分基本定理是前后项抵消来的吗
我们先来看个简单的例子——求 f(x) = x 与 x 轴所围成的三角形在 [0, 1] 之间的面积。现在，我们手头的工具只有「长方形的面积 = 长 ⨯ 宽」。面对这种不规则（相对矩形而言）的图形，没什么办法。于是，我们退而求其次，先随便算个上下限出来。
首先，我们在三角形内部，用 7 根长条（其中第 1 根长条的高为 0 ）去覆盖它。这样，我们得到三角形面积的一个下限：
同时，我们用 7 根长一丢丢的长条去覆盖它，并让三角形完全置于长条的覆盖之下。得到一个上限：
但是，我们并不满足于仅仅是找到上下限，我们还想知道误差有多大。于是，我们用「上限 - 下限」来估计：
我们看到：这是一个和「长条的宽」同一数量级（黑话叫「同阶」）的数。于是很自然地推想，如果我们用更多、更细的长条去覆盖它，误差就会越来越小，直至趋近于零。大家可以去看看 wiki 上的动图。
这样，我们知道了，这种办法是可行的[1]。
但是，总不能每次都这么用一堆长条去覆盖吧！
事情还得从一个常识（Rolle 定理）说起。[a, b ] 上有段光滑曲线f(x) ，且f(a) = f(b) ，那么[a, b ]上必定有一点，使得这点的切线是水平的。
如果但为了说清这点，我们得先说说什么曲线是光滑的？f = |x| 就不是光滑的，因为在x = 0 处有个折。不像现实中的折，这个折无论放大多少倍去观察，你都能看到那地方是尖的。数学上说，它在x = 0 这点不光滑。那怎么判断一条曲线光滑不光滑呢？我们再来看看 f = |x| 为什么有个折。因为，在x = 0 这点的左边，曲线始终斜向下；而到了右边，却始终斜向上。即f = |x| 的斜率在x = 0 处有个突变，如果把每一点的斜率画出来就很清楚。
数学上把这叫做“导函数不连续”。严格地说，一条曲线光滑要求无穷阶可导。如果只是存在连续导函数，叫做连续可导。这里就不区分了，反正高阶的事肉眼看不出来。
回到Rolle 定理，f(x) 是光滑的，那么至少其导函数连续。如果你认为下面这个事实是显然的，那么Rolle 定理不证自明：[a, b] 上的连续函数h(x)，若h(a)·h(b) < 0，那么h(x) 必定穿过x-轴。
如果你承认了Rolle 定理，那么旋转一下坐标轴就得到了微分中值定理。
现在转向积分。我们要求一段曲线与x-轴所围图形的面积。老办法，先划分成若干小段a = x0 < x1 < …… < x_n = b，每一段的面积用某个矩形来近似。
汇总之后就得到了个大概。
你看到微分中值定理的影子了吗？在每一小段上用微分中值定理，不过得反过来用。假设存在一个函数F(x)，其导函数就是f(x)。那么，
每一段都用f(ξ_i) 近似取代f(x_i)。（从这，你还能看出这种积分法的局限——每个小段内曲线不能波动太“剧烈”。解决这个问题其实也不难，x和y颠倒就行了。）然后，你懂的，加起来就行啦。
其实这是从欧姆社的《漫画微积分》上看来的（P94），扩充了下。
你数学老师没告诉你，Green公式、Stokes公式、Gauss公式有点像吗
……
你数学老师没告诉你，曲率就是刚好能卡住的圆的半径吗
……
你数学老师没告诉你，Carmack 写过一个 NB 到爆的 Taylor 展开吗
Carmack 写过一行神级代码——平方根倒数的快速求解。wiki 上甚至开了一个专门词条。抛开工程技巧，其本质不过是 Taylor 的一阶展开。
……
你数学老师没告诉你，Ptolemy能把行星运动拟合得这么好全靠了Fourier变换吗
……
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大家有没有留意到：求误差的算式当中有一个「≤」。这是在要求：曲线在任意微小区间内，「最大值与最小值之差」必须与「这段微小区间的长度」处于同一数量级。也就是在要求：曲线不能变化得过于激烈。其实这里所谓的「上限」&「下限」就是「Darboux 大和」&「Darboux 小和」，Darboux 和以夹逼的形式控制着上下限。具体参见Darboux integral ↩
