军事学方程之广宇方程的推导
内容提要：由于兰切斯特方程的计算与实际有偏差，所以要引入广宇方程。本节介绍广宇方程的推导过程和使用方法。当杀伤率趋近于0时，广宇方程计算的结果和兰切斯特第二方程结果相同；当杀伤率趋近于1时，广宇方程的计算结果和兰切斯特第二方程的计算结果相同。也就是说，广宇方程不仅可以更准确的预测实际结果，并且可以覆盖兰切斯特的2个方程。Xn表示胜利一方的兵力数量，Yn表示失败一方的兵力数量，n表示战斗的最终轮数，a和b表示A方和B方的武器性能。
由于兰切斯特方程计算的结果和实际推演有较大的出入，我们按照实际战斗来建立新的战斗模型，以弥补兰切斯特方程计算不准的问题。
假设A队的武器性能为A，命中率为k，B队的武器性能为B，命中率为h。武器性能越好，射出的子弹越多，杀伤力越大，命中率越高，杀伤力越大（如图1所示）。
图1 战斗互相影响框图
在第n轮战斗完成时，每一队的人数都等于上一轮战斗剩余的人数减去本轮被杀的人数。A队在第n-1轮结束时剩余的人数为Xn-1，本轮被杀的人数为Yn-1×Bh，其中命中率h可以这样理解，假设B队每5发子弹打死一个敌人，那么命中率就是1/5=0.2。所以得到Xn=Xn-1-Yn-1×Bh。设杀伤率为武器性能和命中率的乘积，A队的杀伤率为a=Ak，B队杀伤率为b=Bh，即可得到关于Xn和Yn的方程。
我们来对比一下实际推演、兰切斯特方程和广宇方程对于X队和Y队人数的计算和战斗周期的计算，看看有什么差别。
分别把X0=9，Y0=6，a=b=1/3带入兰切斯特方程和广宇方程，即可得到每一轮的剩余人数和战斗的周期。比如广宇方程计算的结束时间是2.32，那么分别将n=1，2和2.32带入广宇方程就能得到三个时刻A队和B对的实际人数（如图2所示）。
图2实际推演、兰切斯特方程和广宇方程的结果对比
计算结果可以看出，兰切斯特方程每一轮计算的结果都比其他两个计算的结果大，兰切斯特方程计算的周期也比广宇方程计算的周期长。广宇方程在第1轮和第2轮计算结果和实际推演完全一致，第三轮由于时间不同而稍有偏差。广宇方程可以准确的反应实际战斗的实时情况，而兰切斯特方程则有较大偏差。
可以将兰切斯特法则、兰切斯特方程和广宇方程计算的结果在MATLAB中绘制成图形，实际推演指示的线上分别有4个小圆圈，代表了在时间为0、1、2和3时，A队和B队的兵力数量（如图3所示）。
图3 实际推演、兰切斯特方程和广宇方程的图形对比
从图形可以看出，广宇方程对应的曲线和实际推演对应的曲线拟合的非常好，而兰切斯特方程对应的曲线则偏离实际推演曲线较多。
《可以量化的军事学》全书结构
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