2022-02-20

期望值（Expectation ）

如果 $X$ 是在概率空间中的一个随机变量，那么它的期望值 $E(X)$ 定义为
$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} XdF$
注意 $F$ 分布函数并不是每一个随机变量都有期望值的，因为有的时候这个积分不存在， $F$ 表达式为
$dF=f(x)dx$
其中 $f(x)$ 为概率密度函数。

如果 $X$ 是离散的随机变量，输出值为 $x_1,x_2,x_3,...$ ，和输出值相应的概率为 $p_1,p_2,p_3,...$ （概率和为1）,若级数 $\sum_i x_ip_i$ 绝对收敛，那么期望值 $E(X)$ 是一个无限数列的和
$E(X)=\sum_i x_ip_i$

如果 $X$ 是连续的随机变量，存在一个相应的概率密度函数 $f(x)$ ，若积分 $\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$ 绝对收敛，连续期望值 $E(X)$ 为
$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$

性质：
（1）线性运算规则
$E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c$
推广到一般情况 $E(\sum_{i=1}^{n} a_iX_i+c)=\sum_{i=1}^{n}a_iE(X_i)+c$
（2）乘积的期望
$E(XY)=E(X)E(Y)$ ，该式成立的前提是 $X$ 与 $Y$ 不相关（或独立）

方差（Variance）

定义
总体方差 $\sigma^2$ 定义为
$\sigma^2=\frac{\sum(X-\mu)^2}{N}$
$X$ 为变量， $\mu$ 为总体均值， $N$ 总体例数
样本方差 $S^2$
实际统计计算时，总体均数难以得到时，应用样本统计量代替总体参数，经校正后，样本方差计算公式
$S^2=\frac{\sum(X-\overline{X})^2}{n-1}$
$\overline{X}$ 为样本均值， $n$ 为样本例数。

离散型方差
$Var(X)=\sum_{i=1}^{n}p_i(x_i-\mu)^2=(\sum_{i=1}^{n}p_i\cdot x_i^2) - \mu^2$ ，其中 $\mu=E(X)$

连续性方差
$Var(X)=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2f(x)dx=\int_{-\infty}^{\infty}x^2f(x)dx-\mu^2=E(X^2)-[E(X)]^2$

性质：
（1）若 $c$ 为常数，则 $Var(c)=0$
（2）若 $X$ 为随机变量， $c$ 为常数，则 $Var(cX)=c^2Var(X)$
（3）若 $X$ 和 $Y$ 为两个随机变量，则 $Var(X \pm Y)=Var(X) + Var(Y)\pm 2Cov(X,Y)$
其中协方差 $Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]$ 。
如果 $X$ 和 $Y$ 不相关，则 $Cov(X,Y)=0$
（4） $Var(aX \pm bY)=a^2Var(X) + b^2Var(Y)\pm 2abcov(X,Y)$

协方差（Covariance）

定义
两个随机变量的协方差被定义为
$Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]$
方差是协方差的特例，即当 $X=Y$ 时， $Cov(X,Y)=Var(X)=Var(Y)$

性质：
（1）线性组合的协方差
$Cov(\sum_{i=1}^m a_i X_i,\sum_{j=1}^m b_j Y_j)=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n a_i b_j Cov(X_i ,Y_j)$
两个随机变量特例：
$Cov(aX+b,cY+d)=acCov(X,Y)$
（2）独立随机变量的协方差
若 $X$ 与 $Y$ 为独立的随机变量，则 $Cov(X,Y)=0$

相关系数（Correlation coefficient）

定义
相关系数可以通过方差和协方差来定义。两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 的相关系数定义为：
$Corr(X,Y)=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}$

性质：
（1）有界性
相关系数的取值范围为[-1,1]，其可以看成是无量纲的协方差。
（2）统计意义
值越接近1，说明两个变量正相关性（线性）越强，越接近-1，说明负相关性越强，当为0时表示两个变量没有相关性。

最后编辑于：2022.02.21 07:40:50

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