​01

数学之难

“我家孩子每天学习到12点，太辛苦了，看得我心疼！”

“我的数学不好，我孩子这一点上完全继承了我……”

“数学学到初中会算数就好了……”

“我家孩子不细心，马虎大意，还是做题少！”

……

作为一名数学教师，时不时地会与家长们交流，听到的负面信息比较多，也许“别人家的孩子”才是父母心中的理想下一代吧！

正如网络上的一句话，“逼急了我什么都做得出来，除了数学……”

没有哪个学科会像数学给人的恐惧感来得强烈，平均每五个人中会有1个惧怕数学！

我也曾经问过学生：“你们发现了数学中的美和乐趣了吗？”

得到的答案是：“美？你在逗我们吧！乐趣倒有一点……”

看来，如果您是位小学或初中的数学教师，不要着急要学生们认知到数学的美，而先让其深入数学，发掘学习数学的乐趣。

我们当前的数学教育多数情况下是在既定的定理下完成题目的证明，重复重复再重复，直到学生们掌握了这个题型为止，我想，这绝对不是数学教学的本意……

如果您有这方面的困扰，那么就看看这本书《思考的乐趣》。

作者简介：顾森，北京大学中文系毕业，数学爱好者。

2005年起书写各类数学文章超过千篇，从事中学数学教育工作多年。

02

几何篇——众人寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处

如果您是初中数学老师，一定听到过学生们诉说：“老师，这个题我就是没有想到辅助线怎么做……”

几何给人的感觉如同万花筒，光彩迷人，有时会深陷其漩涡之中。

几何没有捷径，需要具备敏锐的观察力与想象能力，当然还有奇思妙想的大脑。

小试牛刀

如图所示，ABCD是长方形，DEFG是正方形，已知DE=4，CD=5，求BC的长.

注意：这是一道小学范围内的题目（不能用相似、勾股定理等求解）

乍看起来，此题无论如何不能用小学知识解答的，当我们连接CG之后，一切都迎刃而解了……

我们发现三角形CDG的面积既是长方形ABCD面积的一半，也是正方形DEFG面积的一半，这样，就可以得到算式：BC×CD=DE×DE，

代入得到：BC=3.2.

类似的题目有很多，如下图所示，阴影部分是正方形，求其边长？

同样的，这道题目也是小学级别的，不能用相似来求解。

稍微将脑洞放大，就可以得到下面的图形，

很明显我们得到正方形面积等于红色长方形的面积，即36，正方形的边长为6.

不要小看这小小的平移及等积转化，它还可以解决高中知识呢！

四边形是平行四边形，其中一顶点位于坐标原点，该四边形的面积为：|ad－bc|.

我们看一下平移及等积转化的过程：

奇思妙想

求证：当n为奇数时，正n边形从某一顶点出发的（n-3）条对角线将其分成（n-2）个三角形，那么有且只有一个三角形是锐角三角形.

这是n=5、7、9时的情形（各画了一种分割方法）

从图中可以看出问题的正确性，可是要怎么证明呢？

这就需要用到：如果一个三角形是锐角三角形，当且仅当其外心在其内部。

这就一目了然了，无论哪一种分发，正n变形中心必是所有三角形的外心，而这个外心必在某个三角形内部，这个三角形即为锐角三角形。

拍案叫绝

在一个单位正方形内，有两个互不重合的小正方形，求证：这两个正方形的面积之和不可能大于1。

这个定理的证明需要用到一个定理，在一个直角三角形内部作正方形时，正方形顶点在直角顶点时面积最大。

由于两个正方形是相离的，则一定能找到一条线段MN将两正方形分开，与对角线AC交于一点P，分别过P作正方形各边的垂线。

则正方形AEPG是三角形AOM内部最大正方形，即上方正方形面积不大于正方形AEPG面积，边长不大于AE；同理下方正方形的边长不大于CF，这样，两个正方形边长的和不大于1。

令人叹为观止的皮克定理

在由边长是单位1的正方形组成的图形中，如果一个三角形顶点都在格点上，其面积怎么求解？

利用割补法很容易就求出三角形的面积为：5.

奥地利数学家皮克发现：不仅是三角形，任意多边形，只有每个顶点都在单位正方形的网格的“格点”上，它的面积为：I+B/2-1。这就是皮克定理。

其中，I是多边形内部所含的格点数；B是多边形边界上的格点数。

比如上面的图形中，I=4，B=4，三角形的面积等于4+4/2-1=5.

上面两个图形哪个面积大？通过计算发现，面积都等于0+16/2-1=7.

在一个点阵中，画一条经过所有点恰好一次的回路，得到多边形的面积一定是相同的。

03

数篇——畅游数字海洋

数学倒过来念就是学数。可见，数对于数学来说是至关重要的，有一门数论学科是专门研究数的，比如我们所熟知的毕达哥拉斯定理、角谷猜想、亲和数猜想等等。

数论的表现形式很简单，但证明过程有时候会很难。比如陈景润在证明“1+1=2”一个分支问题时就写了几百页之多……

这本书中提出了几个有趣的问题以飨读者。

0和1的天下

2的5倍是10，3的37倍是111，4的25倍是100，……是否对于任意正整数n，都能找到一个n的倍数，它全是由数字0和1构成？

答案是肯定的。

考虑数列1、11、111、1111、……由于任意一个正整数除以n，余数只有n种可能，因此数列的前n+1项中一定有2项除以n后的余数相同，这两项的差即满足条件。

疯狂的数字

证明：存在任意长的连续自然数序列，使得序列中的每一个数都是合数。

任取一个正整数n>1，n！+2是2的倍数，n！+3是3的倍数……n！+n是n的倍数，所以，序列n！+2、n！+3、…n！+n是一个含有n-1项合数的序列。

由于n可以取到任意大，此序列有任意长。

崩溃的答案

证明或推翻：a^3+b^4=c^5没有正整数解。

令很多学生崩溃的是，此题的答案只有寥寥一句话！

答案：因为2^24+2^24=2^25，

所以（2^8）^3+(2^6)^4=(2^5)^5。

04

生活中的数学——体验折纸的快乐

我们知道，尺规作图不是万能的，比如倍立方体。（即将立方体体积扩大为原来的2倍）

书中提到了一个非常有意义的事情，就是折出2的立方根，解决尺规作图不能完成的任务。

第一步将正方形三等分；第二步将A、B的落点分别在三等分折痕处，对边上；这样B’就将边界分成了2^(1/3)：1的两部分。

利用相似与勾股定理即可求得其结果的正确性。

05

挑战思维的广度——数无界，思维无界

我们知道实数有无穷多个，可它的证明却历经了很多年，由康托尔用一种很简单的方法证明出来。

在区间(0,1)之间的实数集是不可数的，康托尔用了反证法来证明了这一论点。

将集合（0,1）内的所有实数按某种顺序排列为：a1、a2、a3……，这里的每个数都是0点几几几……的无限小数，也可以是有限小数后面添加无限个0，

比如：

a1=0.21231457……

a2=0.32144547……

a3=0.10000000……

a4=0.32554781……

a5=0.12220000……

a6=0.91231457……

……

下面我们构造一个新数，它也属于（0,1）区间，但不在这张表中。

这个数小数点后第一位不同于a1的第一位，第二位不同于a2的第二位……

那么这个实数将区别于上面那个列表中任意一个数，因此，我们不可能将所有0到1之间的实数一个也不少地排成一列。

人的思维无限……

写在最后，用作者自己的话来表述这本书的意义：

如果你是刚刚体会到数学之美的初中生，这本书会带你进入一个课本之外的数学花园；

如果你是奋战在技术行业前线的工程师、教师，这本书或许能不断给你带来新的灵感；

如果你并不那么喜欢数学，这本书或许会逐渐改变你的看法……

顾森——《思考的乐趣》

趣味性：★★★★★

可读性：小学生               ★★

              中学生           ★★★★★

              大学生           ★★★★★

              教师（家长）★★★★★

这是小编看过的为数不多的好看的国产初等数学科普作品，而且很有“良心”，如果你是位中学生或教师或家长，这本书值得一读，无论年少男女老幼！

如果您觉得文章有用，请顺手在文末点“在看”。

END

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