名家之言  启发之语

----《数学与文化》摘录笔记三

大寨一中  高元节

第三章    “我从一无所有之中创造了一个新宇宙”

1.纯粹的理性思维王国里掀起的疾风暴雨终于将擦亮人类的眼睛。雨过天清，人看见的是什么？数学的探索总有两个方面，一是探索宇宙的秘密，一是探索人类自己。其实二者是紧密联系着的。但是数学史上很难找到这样的人能同时在两个方面都登上高峰。（164页）

2.人们总认为有两种数学家：一种是数学物理学家，应用数学家，他们热忱地用理性捉摸天上的星辰，而对于理性思维本身的规律似乎不那么关注；另一种是纯粹数学家，他们关心数学本身的问题，关心数学的基础。（164页）

3.数学研究最重要的工具终究是人的理性。（165页）

4.认识宇宙和认识人类自己这两个方面的结合，带来了科学技术历史和人类思想史上的新时代。（165页）

§ 1  弯曲的宇宙

1.太阳系是几个小小的孤独的小球，在无垠之中    而行，一切都是命定的，现在只是过去的演唱，将来又只是现在的边形，“阳光之下没有新东西”，过去和将来是没有区别的。（166页）

2.人发现了宇宙的根本规律，后果却是给人来自己留下这样一个冷漠的、毫无生气的宇宙。（166页）

3.这个空间是弯曲的，但是这种弯曲并不是我们肉眼直观的那种弯曲，面可以用一个函数来决定，这就是曲率。（167页）

4.曲面上是没有直线的。但是代替它的有所谓“测地线”。（168页）

5.通俗的科普著作，应该努力作到“通而不俗”，可惜的是，搞得不好就会“俗面不通。”（175页）

§  2  相对论----牛顿的时空的终结

1.单独的空间和单独的时间注定会消失于虚幻之中，唯有两者的结合将保有其独立的真实性。（187页）

2.自然界是可以想象到的最简单的数学观念的实际体现。我坚信，我们能够用纯粹数学的构造来发现概念以及把这些概念联系起来的定律。这些概念和定律是理解自然现象的钥匙。经验可以提示合适的数学概念，但是数学概念无论如何却不能从经验中推导出来。（201页）

3.判断一位科学巨人的，不用当问他没有做到什么，而应当问他自己的历史条件下做了什么，留给我们的宝贵遗产是什么。（202页）

4.对于我们有信仰的物理学家来说，过去、现在和未来之间的区别不过有一种幻觉的意义而已，尽管这幻觉很顽强。（202页）

§ 3  无尽的探索

1.认识宇宙，也认识人类自己其实也还是未来找到正确的相处关系。我们一再强调过数学作为人类文化的一个重要特点，就是极端抽象的、甚至有时被误解为“毫无意义”“脱离实际”......的数学研究，可以根本改变人对自然和人类自己的看法，甚至可以改变人类社会的面貌。（203页）

2.计算机是数学的产物，特别是与数学基础的研究有关，数学不但使我们得到了计算机，也使我们懂得了它的局限性。（203页）

3.早期对计算机的出现有重大贡献的都是对数理逻辑有卓越贡献的人，进一步说明了这一点，甚至他们中许多人都患有精神病也表明他们的智力和思想远远走在时代的前面，而卓越的人也时常是孤独的、悲哀的人，他们离群索居，难得人们理解，因此而自己结束了自己的一生也不是难以设想的事，这也许是人来为数学的发展付出的沉重代价吧！（204页）

4.我们要把机器变成“奴隶”，让它完全听话，老老实实地干活，首先就要知道本来是找我们自己干而现在让它干的活就是一种没有内容、简单重复的“机械”劳动。（206页）

5.“形式主义”一词绝无贬意，其实也难免带有直觉主义的感情色彩，也有点文人相轻的味儿了。（208页）

6.数学基础的研究不但为我们打开了通向计算机时代的道路，而且在我们才开始走上这条道路时，就已预示了计算机本身的局限性。（210页）

7.人总是通过设计计算机代替人的脑力劳动的某一部分，正如各种机器是人手的延长一样，计算机可以看成是人脑的延长。这样，人不但在体力上，而且在脑力上都可以部分地复制自己。这叫不叫人可以自己复制自己？（210页）

8.不可构造的证明有说明意义呢？计算机不能算出的问题怎么叫做解决呢？所以殊途同归之处在于数学十分严肃地要求我们反思一个问题：当我们用数学方法去解决一个问题，去预测一件事情时，我们是不是在解不可解的问题，在预测不可预测的事？（211页）

9.路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。（215页）

结束语

几乎完全不必怀疑，现今人们最热门的话题有许多会隐退到深沉的黑暗中去，被人遗忘。但是到了那时，又会出现那时的新问题，所以，人们还会处于同样的境地。（216页）

数学的事是一桩伟大的探索，探索宇宙和人类自己最深的奥秘。几千年来，这一个信念鼓舞着数学家前进，只有这样才能理解，何以他们能在几乎完全看不到前景的情况下终生不懈追求。(216页）

数学是向两个方向生长的，即向研究宇宙的深度，也向研究自身----作为人类的理性思维----的深度。认识宇宙会有许多不可解决的问题，又何必气馁，认识人类自己也会遇到难以解决的问题，又何必气馁而怀疑整个数学的价值呢？（217页）

没有非欧几何，自然也就没有相对论，没有全部现代的物理学以及以之为基础的全部现代技术。（218页）

至于从事这项伟大事业的个人，尽管从整体上讲来是在作一项伟大的贡献，但从个人来说却很难得到什么。其实和工人、农民一样，他们的劳动建立了人类社会的大厦，但实在说不出有哪一块砖、那一片瓦是属于他自己的。这一批人中的绝大多数没有创立了不起的丰功伟绩，而只能一生默默无闻地耕耘。他们心甘情愿地奉献了自己的一切，这就是一种文化。（218页）

我一生要没有这幸福的三天，那它比起你这衰老的残年还要更凄惶，还要更悲惨。（219页）