1.5

Demands with Endowments

        假定消费者持有商品作为禀赋

    ①消费者有禀赋

    ②消费者可以以价格出售禀赋，因此有财富

    ③消费者的效应最大化问题(UMP)为：

    ④UMP的解为

        若，则消费者购买一些商品

        若，则消费者出售一些商品

        商品的对价格约分，得：

        回忆Slutsky等式，得：

        代入，得：

        考虑劳动力供给：

    ①劳动量为，且为单位劳动的工资

    ②消费量为，且为单位消费的价格

    ③消费者解决效用最大化问题：

        记总时间为，则有闲暇，有效用函数

        消费者解决效用最大化问题：

        得

WARP: Revisited

定义：（WARP）

        称需求函数满足显示偏好弱定理：

        即对于价格改变，有

        其中，得矩阵的半负定性

Welfare Evaluation

问题：

        价格改变时对消费者的福利有什么影响？

        为了获得客观货币度量，我们达到最大效用时的支出差别

        考虑由价格改变导致的两种福利改变：等价改变(equivalent variation, EV)和补偿改变(compensating variation, CV)

        令，则

等价改变(EV)：初始价格向量

        满足：

补偿改变(CV)：最终价格向量

        满足：

        假定价格，我们有：

        令，假定，则：

        利用Marshallian需求函数来定义Marshallian消费者供给(CS)：

        假定且1是正常品，则对于价格，有：

        注意到，得比更加倾斜

        比较图中区域，得

        若商品1是劣质品，则上述不等式反置

        若效用函数对于商品1是拟线性的，则上述不等式取等号

事实上，