1.5 - 简书

1.5

Demands with Endowments

假定消费者持有商品作为禀赋

①消费者有禀赋 $m=(m_1,...,m_K)$

②消费者可以以价格 $p$ 出售禀赋，因此有财富 $w=pm$

③消费者的效应最大化问题(UMP)为：

$\max_{x\in\mathbb R_+^K}u(x)\qquad s.t.\quad px=pm$

④UMP的解为 $x(p,pm)$

若 $x_k>m_k$ ，则消费者购买一些商品 $k$

若 $x_k<m_k$ ，则消费者出售一些商品 $k$

商品 $j$ 的 $x_j(p,pm)$ 对价格 $p_k$ 约分，得：

$\frac{dx_j(p,pm)}{dp_k}=\frac{\partial x_j(p,pm)}{\partial p_k}|_{pm\;is\;constant}+\frac{\partial x_j(p,pm)}{\partial w}m_k$

回忆Slutsky等式，得：

$\frac{\partial x_j(p,w)}{\partial p_k}=\frac{\partial h_j(p,u)}{\partial p_k}-\frac{x_j(p,w)}{\partial w}x_k$

代入，得：

$\frac{dx_j(p,pm)}{dp_k}=\frac{\partial h_j(p,u)}{\partial p_k}-\frac{\partial x_j(p,pm)}{\partial w}(x_k-m_k)$

考虑劳动力供给：

①劳动量为 $l$ ，且 $a$ 为单位劳动的工资

②消费量为 $c$ ，且 $p$ 为单位消费的价格

③消费者解决效用最大化问题： $\max_{c,l}\mu(c,l)\qquad s.t. \quad pc=al+m$

记总时间为 $\overline L$ ，则有闲暇 $L=\overline L-l$ ，有效用函数 $u(c,\overline L-l)=\mu(c,l)$

消费者解决效用最大化问题： $\max_{c,L}u(c,L)\qquad s.t.\quad pc+aL=a\overline L+m$

得 $\frac{dL(a,p,m)}{da}=\frac{\partial L(a,p,u)}{\partial a}+\frac{\partial L(a,p,m)}{\partial m}(\overline L-L )$

WARP: Revisited

定义：（WARP）

称需求函数 $x(p,w)$ 满足显示偏好弱定理：

$\forall (p,w)\&(p^\prime,w^\prime),px(p^\prime,w^\prime)\leq w,x(p^\prime,x^\prime)\ne x(p,w)\Rightarrow p^\prime x(p,w)>w^\prime$

即对于价格改变 $dp$ ，有 $dp\cdot dx\leq0$

其中 $dx=[D_px(p,w)+D_wx(p,w)x(p,w)^T]dp$ ，得矩阵的半负定性

Welfare Evaluation

问题：

价格改变时对消费者的福利有什么影响？

为了获得客观货币度量，我们达到最大效用时的支出差别

$e(\overline p,v(p^1,w))-e(\overline p,v(p^0,w)),\forall \overline p\gg0$

考虑由价格改变导致的两种福利改变：等价改变(equivalent variation, EV)和补偿改变(compensating variation, CV)

令 $u^0=v(p^0,w),u^1=v(p^1,w)$ ，则 $e(p^0,u^0)=e(p^1,u^1)=w$

等价改变(EV)：初始价格向量

$EV(p^0,p^1,w)=e(p^0,u^1)-e(p^0,u^0)=e(p^0,u^1)-w$

满足： $v(p^0,w+EV)=u^1$

补偿改变(CV)：最终价格向量

$CV(p^0,p^1,w)=e(p^1,u^1)-e(p^1,u^0)=w-e(p^1,u^0)$

满足： $v(p^1,w-CV)=u^0$

假定价格 $p^0\rightarrow p^1$ ，我们有： $EV>0\Leftrightarrow CV>0\Leftrightarrow x(p^1,w)\succ x(p^0,w)$

令 $p^0=(p_1^0,\overline p_{-1}),p^1=(p_1^1,\overline p_{-1})$ ，假定 $p_1^0>p_1^1$ ，则：

$EV=e(p^0,u^1)-w=e(p^0,u^1)-e(p^1,u^1)=\int_{p_1^1}^{p_1^0}h_1(p_1,\overline p_{-1},u^1)dp_1$

$CV=w-e(p^1,u^0)=e(p^0,u^0)-e(p^1,u^0)=\int_{p_1^1}^{p_1^0}h_1(p_1,\overline p_{-1},u^0)dp_1$

利用Marshallian需求函数来定义Marshallian消费者供给(CS)：

$\Delta CS=CS(p^1,w)-CS(p^0,w)=\int_{p_1^1}^{p_1^0}x_1(p_1,\overline p_{-1},w)dp_1$

假定 $p_1^1<p_1^0$ 且1是正常品，则对于价格 $p_1\in(p_1^1,p_1^0)$ ，有：

$x_1(p^0,w)=h_1(p^0,u^0)<x_1(p_1,\overline p_{-1},w)<x_1(p^1,w)=h_1(p^1,u^1)$

注意到 $\frac{\partial x_1}{\partial p_1}=\frac{\partial h_1}{\partial p_1}-\frac{\partial x_1}{\partial w}x_1$ ，得 $x_1(p,w)$ 比 $h_1(p,u)$ 更加倾斜

比较图中区域，得 $EV>\Delta CS>CV$

若商品1是劣质品，则上述不等式反置

若效用函数对于商品1是拟线性的，则上述不等式取等号

事实上， $h_1(p_1,\overline p_{-1},u^0)=x_1(p_1,\overline p_{-1},w)=h_1(p_1,\overline p_{-1},u^1)$

最后编辑于：2020.09.18 11:28:54