地标性高考题：三角函数和差化积公式的应用

2013年重庆卷题9

4\cos50°-\tan40°=(\quad)

A. \sqrt{2} \quad B.\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}

C.\sqrt{3}\quad D.2\sqrt{2}-1

【解析】

4\cos50°-\tan40°=

=4\sin40°-\tan40°=

=\dfrac{4\sin40°\cos40°-\sin40°}{\cos40°}

=\dfrac{\sin80°+ (\sin80°-\sin40°)}{\cos40°}

=\dfrac{\sin80°+ 2 \cos60° \sin20°}{\cos40°}

=\dfrac{\sin80°+ \sin20°}{\cos40°}

=\dfrac{2\sin50°\cos 30°}{\cos40°}

=2 \cos 30° = \sqrt{3}

结论：选项C正确.

可以和这个题对比一下：1987年全国卷题16

1988年全国卷题21

已知 \tan x=a, 求 \dfrac{3\sin x + \sin 3x}{3\cos x + \cos 3x} 的值.

【解法一】

\dfrac{3\sin x + \sin 3x}{3\cos x + \cos 3x}

= \dfrac{2\sin x + (\sin x + \sin 3x) }{ 2\cos x + (\cos x + \cos 3x) }

= \dfrac{2\sin x + 2\sin 2x \cos x }{ 2\cos x + 2 \cos 2x \cos x }

= \dfrac{ \tan x + \sin 2x }{ 1 + \cos 2x }

= (\tan x + 2 \tan x \cos^2 x) \cdot \dfrac{ 1 }{ 2\cos^2 x }

= (\dfrac{1}{2}) \tan x \cdot (\dfrac{ 1 }{ \cos^2 x } + 2)

=(\dfrac{1}{2}) a (a^2+3)

= \dfrac{1}{2} a^3 + \dfrac{3}{2}a

【解法二】

\dfrac{3\sin x + \sin 3x}{3\cos x + \cos 3x}

\dfrac{3\sin x + 3\sin x -4 \sin^3 x}{ 3\cos x + 4 \cos^3 x - 3\cos x }

=\dfrac{6\sin x -4 \sin^3 x}{ 4 \cos^3 x }

=\dfrac{3}{2} \tan \alpha \cdot \dfrac{1}{\cos^2 \alpha} - \tan^3 \alpha

=\dfrac{3}{2}a(a^2+1) - a^3

= \dfrac{1}{2} a^3 + \dfrac{3}{2}a

2005年全国卷二题14

设 \alpha 为第四象限的角，若 \dfrac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha}=\dfrac{13}{5}，则 \tan 2\alpha= \underline{\mspace{100mu}}

【解】

\dfrac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha}=\dfrac{13}{5} \Rightarrow \dfrac{\sin 3\alpha - \sin \alpha}{\sin\alpha}=\dfrac{8}{5}

又∵ \sin 3\alpha - \sin \alpha = 2 \cos 2\alpha \sin\alpha

∴ \cos2\alpha=\dfrac{4}{5}

∵ \alpha 为第四象限角，

∴ - \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \lt \alpha \lt 2k\pi,

∴ -\pi + 4k\pi \lt 2\alpha \lt 4k\pi,

∴ \sin 2\alpha \lt 0,

\sin 2\alpha = - \dfrac{3}{5},

\tan 2\alpha= - \dfrac{3}{4}

【提炼与提高】

和差化积公式共有以下4个：

\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}

\cos\alpha-\cos\beta= -2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}

\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}

\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}

在前面3个题的解答过程中，都用到了和差化积公式。

初等数学是很成熟的内容，但不同的老师在教法方面也会有不同的主张。

以三角函数来说，有些老师会建议学生多记一些公式，比如三倍角公式。在我看来，三倍角公式的重要性远远不如和差化积公式，用到的机会也比较少。这类用得不多的公式，很容易记错记混。如果在考试中用了错误的公式而丢分，就亏大了。

归根结底，学数学就是学推导；靠「死记硬背」是学不好数学的。

事实上，用和差化积公式可以很轻松地推导出三倍角公式。

∵ \sin3x+\sin x=2\sin 2x \cos x=4\sin x \cos^2 x

=4\sin x - 4 \sin^3 x

∴ \sin 3x = 3 \sin x -4 \sin^3 x

∵ \cos 3x + \cos x

= 2 \cos 2x \cos x = 2 (2\cos^2x -1)\cos x

=4\cos^3 x - 2 \cos x

∴ \cos 3 x = 4 \cos^3 x -3\cos x

©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
【社区内容提示】社区部分内容疑似由AI辅助生成，浏览时请结合常识与多方信息审慎甄别。
平台声明：文章内容（如有图片或视频亦包括在内）由作者上传并发布，文章内容仅代表作者本人观点，简书系信息发布平台，仅提供信息存储服务。

相关阅读更多精彩内容

友情链接更多精彩内容