高考数学全国卷客观题：三角函数的图像与性质

三角函数的图像与性质：入门级

2015年理科数学全国卷A题2

(2) $\sin 20° \cos 10^° - \cos 160° \sin 10° =$
$(A)-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \qquad (B) \dfrac{\sqrt{3}}{2} \qquad (C)-\dfrac{1}{2} \qquad (D) \dfrac{1}{2}$

2018年理科数学全国卷C题4

4.若 $\sin \alpha = \dfrac{1}{3}$ ，则 $\cos 2 \alpha=$

$A.\dfrac{8}{9} \qquad B.\dfrac{7}{9} \qquad C.-\dfrac{7}{9} \qquad D.-\dfrac{8}{9}$

2016年理科数学全国卷C题5

(5)若 $\tan \alpha = \dfrac{3}{4}$ ，则 $\cos^2\alpha +2\sin 2 \alpha =$

$(A)\dfrac{64}{25} \qquad (B)\dfrac{48}{25} \qquad (C)1 \qquad (B)\dfrac{16}{25}$

2011年理科数学全国卷题5

5.已知角 $\theta$ 的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴的正半轴重合，终边在直线 $y=2x$ 上，则 $\cos 2 \theta$

$A.-\dfrac{4}{5} \qquad B.-\dfrac{3}{5} \qquad C.\dfrac{3}{5} \qquad D.\dfrac{4}{5}$

2010年理科数学全国卷题9

9.若 $\cos \alpha = - \dfrac{4}{5}, \alpha$ 是第三象限的角，则 $\dfrac{1+ \tan \dfrac{\alpha}{2}} {1- \tan \dfrac{\alpha}{2}} =$

$A. - \dfrac{4}{5} \qquad B.\dfrac{1}{2} \qquad C.2 \qquad D.-2$

2012年理科数学全国卷题9

（9）已知 $\omega \gt 0$ ，函数 $f(x)=\sin(\omega x + \dfrac{\pi}{4})$ 在 $(\dfrac{\pi}{2},\pi)$ 单调递减，则 $\omega$ 的取值范围是

$(A)[\dfrac{1}{2},\dfrac{5}{4}] \qquad (B)[\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{4}] \qquad (C)(0,\dfrac{1}{2}] \qquad (D)(0,2]$

2013年理科数学全国卷A题15

(15)设当 $x=\theta$ 时，函数 $f(x)=\sin x - 2 \cos x$ 取得最大值，则 $\cos \theta=\underline{\mspace{100mu}}$ .

2013年理科数学全国卷A题14

（14）函数 $f(x)=\sin(x+2\varphi)-2\sin\varphi\cos(x+\varphi)$ 的最大值为 $\underline{\mspace{100mu}}$ .

2014年理科数学全国卷A题6

（6）如图，圆 $O$ 的半径为 $1$ ， $A$ 是圆上的定点， $P$ 是圆上的动点，角 $x$ 的始边为射线 $OA$ ，终边为射线 $OP$ ，过点 $P$ 作直线 $OA$ 的垂线，垂足为 $M$ . 将点 $M$ 到直线 $OP$ 的距离表示成 $x$ 的函数 $f(x)$ ，则 $y=f(x)$ 在 $[0,\pi]$ 的图像大致为

2014年理科数学全国卷A题8

（8）设 $\alpha \in (0, \dfrac{\pi}{2}), \beta \in (0, \dfrac{\pi}{2})$ ，且 $\tan \alpha = \dfrac{1+\sin \beta}{\cos \beta}$ ，则

$(A)3\alpha-\beta=\dfrac{\pi}{2} \qquad (B)2\alpha-\beta=\dfrac{\pi}{2} \qquad$

$(C)3\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{2} \qquad (D)2\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{2}$

2015年理科数学全国卷A题8

（8）函数 $f(x)=\cos(\omega x + \varphi)$ 的部分图像如图所示，则 $f(x)$ 的单调递减区间为

$(A)(k\pi-\dfrac{1}{4}, k\pi+\dfrac{3}{4}), k \in Z$

$(B)(2k\pi-\dfrac{1}{4}, 2k\pi+\dfrac{3}{4}), k \in Z$

$(C)(k-\dfrac{1}{4}, k+\dfrac{3}{4}), k \in Z$

$(D)(2k-\dfrac{1}{4}, 2k+\dfrac{3}{4}), k \in Z$

2015年理科数学全国卷A题14

（14）函数 $y=\sin x - \sqrt{3} \cos x$ 的图像可由函数 $y=\sin x + \sqrt{3} \cos x$ 的图像至少向右平移 $\underline{\mspace{100mu}}$ 个单位长度得到.

2016年理科数学全国卷B题7

（7）若将函数 $y=2\sin 2x$ 的图像向左平移 $\dfrac{\pi}{12}$ 个单位长度，则平移后图像的对称轴为

$(A)x=\dfrac{k \pi}{2} - \dfrac{\pi}{6}(k \in Z) \qquad \; (B)x=\dfrac{k \pi}{2} + \dfrac{\pi}{6}(k \in Z)$

$(C)x=\dfrac{k \pi}{2} - \dfrac{\pi}{12}(k \in Z) \qquad (D)x=\dfrac{k \pi}{2} + \dfrac{\pi}{12}(k \in Z)$

2016年理科数学全国卷B题9

（9）若 $\cos(\dfrac{\pi}{4}-\alpha)=\dfrac{3}{5}$ ，则 $\sin 2 \alpha=$

$(A)\dfrac{7}{25} \qquad (B)\dfrac{1}{5} \qquad (C)-\dfrac{1}{5} \qquad (D)-\dfrac{7}{25}$

2017年理科数学全国卷C题6

6.设函数 $f(x)=\cos(x+\dfrac{\pi}{3})$ ，则下列结论错误的是

$\quad A.f(x)$ 的一个周期为 $-2 \pi$

$\quad B.y=f(x)$ 的图像关于直线 $x=\dfrac{8 \pi}{3}$ 对称

$\quad C.f(x+\pi)$ 的一个零点为 $x=\dfrac{\pi}{6}$

$\quad D.f(x)$ 在 $(\dfrac{\pi}{2},\pi)$ 单调递减

2017年理科数学全国卷B题14

14.函数 $f(x)=\sin^2x+\sqrt{3}\cos x - \dfrac{3}{4}(x \in [0,\dfrac{\pi}{2}])$ 的最大值是 $\underline{\mspace{100mu}}$ .

2017年理科数学全国卷A题9

9.已知曲线 $C_1: y=\cos x, C_2:y=\sin(2x+ \dfrac{2\pi}{3})$ ，则下面结论正确的是

A.把 $C_1$ 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 $\dfrac{\pi}{6}$ 个单位长度，得到曲线 $C_2$

B.把 $C_1$ 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\dfrac{\pi}{12}$ 个单位长度，得到曲线 $C_2$

C.把 $C_1$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\dfrac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 $\dfrac{\pi}{6}$ 个单位长度，得到曲线 $C_2$

D.把 $C_1$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\dfrac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\dfrac{\pi}{12}$ 个单位长度，得到曲线 $C_2$

2018年理科数学全国卷C题15

15.函数 $f(x)= \cos (3x + \dfrac{\pi}{6})$ 在 $[0,\pi]$ 的零点个数为 $\underline{\mspace{100mu}}$ .

2018年理科数学全国卷B题10

10.若 $f(x)= \cos x - \sin x$ 在 $[-a,a]$ 是减函数，则 $a$ 的最大值是

$A.\dfrac{\pi}{4} \qquad B.\dfrac{\pi}{2} \qquad C.\dfrac{3\pi}{4} \qquad D.\pi$

2018年理科数学全国卷B题15

15.已知 $\sin \alpha + \cos \beta = 1, \cos \alpha + \sin \beta =0,$ 则 $\sin(\alpha+\beta)=\underline{\mspace{100mu}}$ .

2019年理科数学全国卷B题9

9.下列函数中，以 $\dfrac{\pi}{2}$ 为周期且在 $(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2})$ 区间单调递增的是

$A.f(x)=|\cos2x| \qquad B.f(x)=|\sin2x|$

$C.f(x)=\cos|x| \qquad \; D.f(x)=\sin|x|$

2019年理科数学全国卷B题10

10.已知 $\alpha \in (0,\dfrac{\pi}{2}), 2 \sin 2 \alpha = \cos 2 \alpha +1$ ，则 $\sin \alpha=$

$A.\dfrac{1}{5} \qquad B.\dfrac{\sqrt{5}}{5} \qquad C.\dfrac{\sqrt{3}}{3} \qquad D.\dfrac{2 \sqrt{5}}{5}$

2019年理科数学全国卷A题5

5.函数 $f(x)=\dfrac{\sin x + x}{\cos x + x^2}$ 在 $[-\pi, \pi]$ 的图像大致为

2019年理科数学全国卷A题11

11.关于函数 $f(x)=\sin |x| + |\sin x|$ 有下述四个结论：

(1) $f(x)$ 是偶函数

(2) $f(x)$ 在区间 $(\dfrac{\pi}{2},\pi)$ 单调递增

(3) $f(x)$ 在 $[-\pi,\pi]$ 有 4 个零点

(4) $f(x)$ 的最大值为 2

其中所有正确结论的编号是

A.①②④
B.②④
C.①④
D.①③

三角函数的图像与性质：压轴题

2014年理科数学全国卷B题12

设函数 $f(x)=\sqrt{3} \sin \dfrac{\pi x}{m}$ . 若存在 $f(x)$ 的极值点 $x_0$ 满足 $x_0^2 + [f(x_0)]^2 \lt m^2$ ，则 $m$ 的取值范围是

$(A)(-\infty,-6) \cup (6,+\infty)$

$(B)(-\infty,-4) \cup (4,+\infty)$

$(C)(-\infty,-2) \cup (2,+\infty)$

$(D)(-\infty,-1) \cup (1,+\infty)$

2019年理科数学全国卷C题12

设函数 $f(x)=\sin(\omega x + \dfrac{\pi}{5}) (\omega \gt 0)$ ，已知 $f(x)$ 在 $[0,2\pi]$ 有且仅有5个零点，下述四个结论：

① $f(x)$ 在 $(0,2\pi)$ 有且仅有3个极大值点

② $f(x)$ 在 $(0,2\pi)$ 有且仅有2个极大值点

③ $f(x)$ 在 $(0,\dfrac{\pi}{10})$ 单调递增

④ $\omega$ 的取值范围是 $[\dfrac{12}{5}, \dfrac{29}{10})$

其中所有正确结论的编号是

A.①④
B.②③
C.①②③
D.①③④